1、2021年北京市第八十中学高三考前练习数学试题数 学（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合，则A. B. C. D.2.下列函数中，定义域为且在区间上单调递增的是 A. B. C. D.3已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.4. 已知点(1，2)在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.5
2、.设，则A B C D6.欧拉公式（为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当时，被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，在复平面中位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知向量，若，则与的夹角为A. B. C. D.8.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的延长线交抛物线的准线于点，若，则A.3 B.4 C.6 D.89. 已知数列的前项和，则是为等比数列的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充
3、分也不必要条件10.形如（是非负整数）的数称为费马数，记为.数学家费马根据,都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那么的位数是（参考数据：）A B C D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11二项式的展开式中的系数为，则12在等比数列中，则数列的前4项和_.13.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为 14. 已知函数，则，当=_时，函数在区间上单调(写出一个值即可)15.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合.给出下列4个集合： 其中所有“好集合”的序号是 三、解答题共6小题，共85分解答应写
4、出文字说明，演算步骤或证明过程16.(本题满分13分)如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，E是PC上任一点，.（）求证：平面平面PAC：（）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值.17.(本题满分14分)某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期.记随机变量、分别表示顾客购买型手机和型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，和的分布列如下表所示：12340.10.40.40.112340.40.10.10.4（）若某位顾客购买型和手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；（）电商平台销售一部型手机，若顾客
5、选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元.记电商平台销售两部型手机所获得的利润为（单位：元），求的分布列；（）比较与的大小（只需写出结论）.18.(本题满分13分)在中，若、分别是内角、的对边，已知同时满足下列4个条件中的3个：； ； （）请指出这3个条件，并说明理由；（）求19.(本题满分15分)已知椭圆的离心率为，过点（）求椭圆的标准方程；（）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值2
6、0(本题满分15分)已知函数.（）讨论函数的极值点的个数；（）若有两个极值点，证明：.21(本题满分15分)对于无穷数列、，若，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”（）写出数列的“收缩数列”；（）证明：数列的“收缩数列”仍是；（）若，求所有满足该条件的数列2021年北京市第八十中学高三考前练习数学试题参考答案选、填答案12345678910BDDBCABBCB1112131415； 16.(本题满分13分)解：（1）在四棱锥中，底面ABCD为菱形，所以，又因为底面ABCD，底面ABCD，所以，平面，所以平面，因为平面，所以平
7、面平面；（2）取的中点，连接，因为底面ABCD为菱形且，所以为等边三角形，所以，所以，如图建立空间直角坐标系，令，则，所以，设平面的法向量为，所以即，令则，所以，设直线ED与平面EBC所成角为，则所以直线ED与平面EBC所成角的正弦值为17.(本题满分14分)【详解】（1）某位顾客购买型和手机是独立事件，则这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率为（2）的可能取值为则的分布列为（3）18、(本题满分13分)【详解】解：（1）同时满足条件，理由如下：若同时满足，因为，且，所以，即因为，且，所以 所以，矛盾所以只能同时满足，因为，所以，故不满足故满足，（2）在中，又由正弦定理知：，所以又因为，所以，
8、 所以19(本题满分5分)【详解】（1）由已知条件可得，解得，即椭圆的标准方程为；（2）设、，由题意直线、的斜率存在，设直线的方程为，设直线的方程为，由（1）椭圆，联立得，解得，即，联立，得，所以，即，易知，直线的方程为，点到直线的距离为，所以，故面积为定值20【详解】（1）.当时，.当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减.即函数只有一个极大值点，无极小值点.当时，令，得.当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减.即函数有一个极大值点，有一个极小值点.当时，此时恒成立，即在上单调递增，无极值点.综上所述，当时，有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；当时，有一个极大值点和一个极小
9、值点，即有2个极值点；当时，没有极值点.（2）由（1）可知，当且仅当时，有两个极值点，且为方程的两根，即，所以.令，则恒成立，所以在上单调递增，所以，即.21(本题满分15分)解：（）由可得为递增数列，所以，所以（）因为，所以，所以又因为，所以，所以的“收缩数列”仍是（）由可得当时，；当时，即，所以；当时，即（*），若，则，所以由（*）可得，与矛盾；若，则，所以由（*）可得，所以与同号，这与矛盾；若，则，由（*）可得.猜想：满足的数列是：经验证，左式，右式.下面证明其它数列都不满足题设条件.由上述时的情况可知，时，是成立的.假设是首次不符合的项，则，由题设条件可得（*），若，则由（*）式化简可得与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；所以，则，所以由（*）化简可得.这与假设矛盾.所以，所有满足该条件的数列的通项公式为，
