1、“将军饮马”模型详解与拓展平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：线段公理：两点之间，线段最短.并由此得到三角形三边关系；垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用、的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。问题提出：唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 A 点出发，走到河边饮马后再到 B 点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？模型提炼：模型【1】一定直线、异侧两定点直线 l
2、和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结 AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求点模型【2】一定直线、同侧两定点直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小解答：第一步：画点 A 关于直线 l 的对称点 A（根据“翻折运动”的相关性质，点 A、A到对称轴上任意点距离相等，如图所示，AP=AP，即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题）第二步：联结 AB 交直线 l 于点 Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“AQ+QB”最短即“AQ+QB”最短模型
3、【3】一定直线、一定点一动点已知直线 l 和定点 A，在直线 k 上找一点 B（点 A、B 在直线 l 同侧），在直线 l 上找点 P，使得 AP+PB 最小解答：第一步：画点 A 关于直线 l 的对称点 A第二步：过点 A做 ABk 于点 B 且交直线 l 于点 P，根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知 AP+PB最小即 AP+PB 最小模型【4】一定点、两定直线点 P 是MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B，使PAB 的周长最小解答：策略：两次翻折第一步：分别画点 P 关于直线 OM、ON 的对称点 P1、P2第二步：联结 P1P2，交 OM、
4、ON 于点 A、点 B（根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时 AP1+BP2+AB 最短即ABP 周长最短）拓展如果两定点、两定直线呢？“如图，点 P，Q 为MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点A，B。使四边形 PAQB 的周长最小”问题升级：问题：如图，ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、AC、BC 上，试求作DEF 的最小值解答：将点 D 视为定点，先作出DEF 的最小值对应的线段 DD而后研究 DD随着点 D 的位置变化过程中的最小值即可无论点 D 位置在何处，点 C 对线段 DD的张角不变，即 DCD的大小不变，
5、为 2ACB.因而，为使得 DD最小，只需要 CD=CD=CD 最小即可，显然当 CDAB时，有垂线段最小，从而内接三角形DEF 的周长最小现在已经有 CDAB，接下来说明点 E、点 F 也正好是ABC 的高线的垂足！如下图：D、D、D三点在以 C 为圆心的圆上，弧 DD 所对圆心角为DCD，所对圆周角为DDD，故有：(1/2)DCD=DD”D.由翻折又有：(1/2)DCD=ECD，得DD”D=ECD，故 C、E、D、D四点共圆；另一方面：CDB+CD”B=180，故 C、D、B、D四点共圆，综上有：C、E、D、B、D 五点共圆，从而CDB=CDB=90从而得到一个重要结论：锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形周长最小
