1、人大附中20202021学年度高三1月期末模拟统一练习数 学2021年1月9日本试卷共4页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，则集合中元素的个数为（ ）A1B2C3D42若，则z的虚部为（ ）A1B-1CiD3在的二项展开式中，的系数为（ ）ABCD4已知平面向量，且，则（ ）A2B3C4D55如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且，则二面角的大小为（ ）ABCD6已知，则下列说法错误的是（ ）A若在内单调，则B
2、若在内无零点，则C若的最小正周期为，则D若时，直线是函数图象的一条对称轴7数列的前n项和记为，则“数列为等差数列”是“数列为常数列”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8设抛物线的焦点为F，点P在C上，若以线段PF为直径的圆过点，则C的方程为（ ）A或B或C或D或9在中，则面积的最大值是（ ）ABCD10已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论：的一个周期是；是偶函数；的最大值大于；在单调递减其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分请将答案全部填写在答题卡上11某单位有青年职工160人，中年职工人
3、数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为_12在各项均为正数的等比数列中，已知，记，则数列的前六项和为_13已知F是双曲线的右焦点，P是双曲C上的点，若点P在双曲线右支上，则的最小值为_；若点P在双曲线左支上，则的最小值为_14已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围为_15某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数
4、与总票数的比值）最高可能为_“我身边的榜样”评选选票候选人符号注：1同意话“”，不同意画“”2每张选票“”的个数不超过2时才为有效票甲乙丙三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16（本题13分）已知中，（）中是否必有一个内角为钝角，说明理由（）若同时满足下列四个条件中的三个：；请证明使得存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值17（本题13分）如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC的中点，（）证明：平面BCD；（）证明：平面BCD；（）若直线EC与平面ABC所成的角等于，求二面角的余弦值18（本题14分）某企业发明了一种新产品，其质
5、量指标值为，其质量指标等级如下表：质量指标值m质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：（）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；（）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求的件数X的分布列及数学期望；（）若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如下表：质量指标值m利润y（元）4t9t4t2t试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确
6、定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）19（本题15分）已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若对任意的，都有成立，求a的取值范围20（本题15分）已知椭圆的离心率为，且经过点（）求椭圆C的方程（）已知O为坐标原点，A，B为椭圆C上两点，若，且，求的面积21（本题15分）已知项数为的数列为递增数列，且满足，若，则称为的“关联数列”（）数列是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由（）若为的“关联数列”，是否一定具有单调性？请说明理由（）已知数列存在“关联数列”，且，求m的最大值人大附中20202021学年度高三1月期末模
7、拟统一练习数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1B2B3D4C5C6C7A8C9A10B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）1136121891397141595%三、解答题（共6小题，共85分）16（共13分）解：（）因为，由正弦定理可得，在中，所以不等式整理为，即，因为，所以，所以B为钝角（）（i）若满足，则正弦定理可得，即，所以，又，所以，在三角形中，所以或，而由（）可得，所以可得，所以（ii）若满足，由（）B为钝角，A，C为锐角，及，可得，所以不符合B为钝角，故不同时成立（iii）若满足，由B为钝角，所以，而，所以，这时，不符合B为钝角的情况，所以这种情况
8、不成立综上所述：只有满足时17（共13分）解：（）因为在中，E，M分别是线段AD，AC的中点，所以又因为面BCD，面BCD，所以面BCD（）在中，F是斜边BD的中点，所以因为E，F是AD，BD的中点，所以，且，所以，所以又因为，所以，又，所以平面BCD，（）因为，所以又因为，所以平面ABC，所以平面ABC因此是直线EC与平面ABC所成的角故，所以由（），平面BCD，如图，在平面BCD内，过B作x轴，则BA，BD，x轴两两垂直，建立空间直角坐标系则，所以，设平面ACE的法向量，则，即，取，得设平面BCE的法向量，则，即，取，得所以，由图形得二面角为锐角，因此二面角的余弦值为18（共14分）解：（
9、）设“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为，则（）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，的频率为；的频率为；的频率为故利用分层抽样抽取的7件产品中，的有4件，的有2件，的有1件从这7件产品中任取3件产品，质量指标值的件数X可为，所以X的分布列为X012P所以（）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如下表所示：质量指标值m利润y4t9t4t2tP0.050.10.150.40.3故每件产品的利润则，令得，故当时，函数单调递增；当时，函数单调递减所以当时，y取得最大值，为所以生产该产品能够盈利，当时，每件
10、产品的利润取得最大值1.5元19（共15分）解：（）时，在点处的切线方程为（）当时，恒成立，函数的递增区间为当时，令，解得或x-0+减极小值增所以函数的递增区间为，递减区间为（）当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；当时，在上是增函数，所以只需而，所以满足题意；当时，在上是减函数，上是增函数，所以只需即可，而，从而不满足题意；综合实数a的取值范围为20（共15分）解：（）C过，又，联立，解得，C的方程为：（）依题意，直线AB存在斜率，设直线方程为；联立与，得，设，则，则，直线OA为：联立，得，代入，又，得，此时成立由，的面积21（共15分）解：（）因为，均为整数所以数列存在“关联数列”，为（）因为数列存在“关联数列”，所以，且，即，单调递减（）由（）知，于是所以另一方面，由数列存在关联数列，知所以，令，每一项除以20均余1，所以，符合条件综上，m的最大值为21
