1、2020北京卷高考数学押题仿真模拟（四）本试卷共8页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合，集合, 则（A） （B） （C） （D） 2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （A）（B）（C） （D）3.已知数列满足，则（A） （B） （C） （D）4.将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）（A）（B）（C）（D） 5.已知直线与圆相交于两点,且为正三角形,则实
2、数的值为（A）（B）（C）或（D）或6.设是不为零的实数,则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7.在中,是边的中点,则的取值范围是（A）（B）（C）（D）8.某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中:三棱锥的体积为三棱锥的四个面全是直角三角形三棱锥四个面的面积中最大的是所有正确的说法是（A）（B） （C）（D）9. 已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为 （A） （B） （C） （D） 10.已知正方体的棱长为2,分别是棱的中点,点在平面内,点在线段上.若,则长度的最小值为（A）（B）（C）（D）第二部
3、分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11） 复数 （12）已知公差为1的等差数列中,成等比数列,则的前100项的和为.答案 （13） 设抛物线的顶点为,经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点,则.答案 2（14）函数的最大值为;若函数的图象与直线有且只有一个公共点,则实数的取值范围是.答案 （15）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，给出下列四个结论：f(0)0；若f(x)在0，)上有最小值1，则f(x)在(，0上有最大值1；若f(x)在1，)上为增函数，则f(x)在(，1上为减函数；若x0时，f(x)x2x，则x0时，f(x)x2x；若f(x)既
4、是奇函数又是偶函数，则满足这样的f(x)有无数多个；其中正确结论的为_.注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.答案 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.(本小题满分14分)现在给出三个条件： ；.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定，并以此为依据，求的面积.在中，角的对边分别为， ， ,且满足,求的面积.（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）解：因为，且,所以,又因为，所以，即：，.若选：,则，；若选：因为,且所以，解得：若选：,.而与矛盾，所以不能同时选.
5、17.（本小题满分14分）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.解：方法一：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F所以BC平面A1EF因此EFBC（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形由（1）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面E
6、GFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=.由于O为A1G的中点，故，所以因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是方法二：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz不妨设AC=4，则A1（0，0，2），B（，1，0），C(0，2，
7、0)因此，由得（2）设直线EF与平面A1BC所成角为由（1）可得设平面A1BC的法向量为n，由，得，取n，故，因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为（18）（本小题满分14分）在某地区,某项职业的从业者共约8.5万人,其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系,依据是否患有职业病,使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图:（）求样本中患病者的人数和图中a,b的值;（）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人,求这2人中有患病者的概率;（）某研究机构提出,可以选取常数,若一名从业者该
8、项身体指标检测值大于,则判断其患有这种职业病;若检测值小于,则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论）.解：（）根据分层抽样原则,容量为100的样本中,患病者的人数为人.,.（）指标检测数据为4的样本中,有患病者人,未患病者人.设事件A为“从中随机选择2人,其中有患病者”.则,所以.（）使得判断错误的概率最小的.当时,判断错误的概率为.19. （本小题满分15分）已知函数,.（）求曲线在点处的切线的斜率;（）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数,说明理由;（）若函数在区间内有且只有一个极
9、值点,求的取值范围.解:（）.（）设,.当时,则函数为减函数.又因为,所以有且只有一个,使成立.所以函数在区间内有且只有一个零点.即方程在区间内有且只有一个实数根.（）若函数在区间内有且只有一个极值点,由于,即在区间内有且只有一个零点,且在两侧异号.因为当时,函数为减函数,所以在上,即成立,函数为增函数;在上,即成立,函数为减函数,则函数在处取得极大值.当时,虽然函数在区间内有且只有一个零点,但在两侧同号,不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于,显然.若函数在区间内有且只有一个零点,且在两侧异号,则只需满足:即解得.20（本小题满分14分）已知椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为，右焦点
10、F是抛物线C2：y2=2px（p0）的焦点，点（2，4）在抛物线C2上（1）求椭圆C1的方程；（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为，若在椭圆上存在点N，使|AN|=|BN|，求ABN的面积的最小值解：（1）点（2，4）在抛物线y2=2px上，16=4p，解得p=4，椭圆的右焦点为F（2，0），c=2，椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为，=，a=2，b2=a2c2=84=4，椭圆C1的方程为+=1，（2）设直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，x1+x2=，
11、x1x2=，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为，k1k2=，解得m=0，直线l的方程为y=kx，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|=，|AN|=|BN|，ON垂直平分线段AB，当k0时，设直线ON的方程为y=x，同理可得|ON|=，SABN=|ON|AB|=8，当k=0时，ABN的面积也适合上式，令t=k2+1，t1，01，则SABN=8=8=8，当=时，即k=1时，SABN的最小值为.1421.（本小题满分14分）给定数列.对，该数列前项的最小值记为，后项的最大值记为，令.（I）设数列为写出的值；（II）设是等比数列，公比，且，证明： 是等比数列；（III）设是公差大于的等差数列，且，证明：是等差数列.解：（I）， -3分（II）因为，公比， 所以 是递减数列因此，对， -5分于是对， -7分因此 且 （）， 即是等比数列 -9分(III) 设为的公差，则对，因为，所以，即 -11分又因为，所以从而是递减数列因此（）-12分又因为，所以因此所以 因此对都有，即是等差数列 -14分
