1、2021北京高一数学上学期期末汇编：平面向量一选择题（共8小题）1（2020秋昌平区期末）已知矩形中，若，则ABCD2（2020秋西城区期末）在平行四边形中，设对角线与相交于点，则ABCD3（2020秋海淀区校级期末）向量“，不共线”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（2020秋房山区期末）如图，在中，设，则ABCD5（2020秋房山区期末）已知，则“”是“向量与共线”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6（2020秋海淀区校级期末）设，是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充
2、分必要条件D既不充分也不必要条件7（2020秋西城区校级期末）化简等于ABCD8（2020秋西城区校级期末），则与的夹角ABCD二填空题（共8小题）9（2020秋西城区校级期末）设，向量，若，则等于10（2020秋西城区期末）已知向量，那么11（2020秋房山区期末）已知，则与方向相同的单位向量的坐标为12（2020秋昌平区期末）已知向量，且与共线，则实数13（2020秋海淀区校级期末）已知向量，且，则实数14（2020秋海淀区校级期末）在如图所示的方格纸中，向量，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与，为非零实数）共线，则的值为15（2020秋西城区校级期末）如图，向量，若，则16（2
3、020秋西城区校级期末）已知数集，（其中，2，若对任意的，2，都存在，使得下列三组向量中恰有一组共线：向量，与向量，；向量，与向量，；向量，与向量，则称具有性质，例如，2，具有性质（1）若，3，具有性质，则的取值为（2）若数集，3，具有性质，则的最大值与最小值之积为三解答题（共2小题）17（2020秋西城区校级期末）平面内给定三个向量（）求；（）求满足的实数和；（）若，求实数18（2020秋房山区期末）设两个非零向量与不共线（）若，且与平行，求实数的值；（）若，求证：，三点共线2021北京高一数学上学期期末汇编：平面向量参考答案一选择题（共8小题）1【分析】根据向量基本定理进行求解即可【解答】
4、解：，故选：【点评】本题主要考查平面向量的基本定理的应用，利用向量分解是解决本题的关键，是基础题2【分析】利用向量加法法则直接求解【解答】解：在平行四边形中，设对角线与相交于点，则故选：【点评】本题考查向量的求法，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3【分析】根据向量三角形的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当向量“，不共线”时，由向量三角形性质得“”成立，即充分性成立，反之当向量“，方向相反时，满足“”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，即向量“，不共线”是“”的充分不必要条件，故选：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量三角形的性质
5、是解决本题的关键，是基础题、4【分析】利用三角形法则即可求解【解答】解：因为，故选：【点评】本题考查了平面向量基本定理的简单应用，属于基础题5【分析】根据，得到两个向量的夹角为0，又向量与共线，可得两个向量的夹角为0或，结合充分条件和必要条件的定义，分析即可【解答】解：因为，则有，又，则有，所以，又向量与共线，则有或，所以“”是“向量与共线”的充分而不必要条件故选：【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了向量的模的应用，向量夹角的应用，解题的关键是将转化为向量的夹角为06【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若“”，则平方得，即，即，则，即
6、，即，同向共线，则存在实数，使得，反之当，时，满足，但，不成立，即“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件，故选：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键7【分析】直接利用向量的加减法求法即可【解答】解：故选：【点评】本题考查斜率加减法的计算，是基础题8【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求出与的夹角的余弦值，可得与的夹角【解答】解：，则设与的夹角为，由，求得，故选：【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题二填空题（共8小题）9【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得的值，即可得答案【解答】解：根据题意，向量，
7、若，则有，解可得：，故答案为：【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标表示，属于基础题10【分析】可求出向量的坐标，然后即可求出的值【解答】解：，故答案为：5【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题11【分析】可知为与方向相同的单位向量，然后即可根据的坐标得出这个单位向量的坐标【解答】解：，与方向相同的单位向量的坐标为：故答案为：【点评】本题考查了与向量方向相同的单位向量的求法，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题12【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，与共线，解得故答案为：1【点评】本题查克拉向量共线定理
8、，属于基础13【分析】由向量的平行可得，解之即可【解答】解：由已知，且，所以，解得，故答案为：【点评】本题考查向量平行的充要条件，属基础题14【分析】由题意易得每个向量的坐标，由向量共线可得和的关系式，变形可得答案【解答】解：设图中每个小正方形的边长为1，则，与共线，即故答案为：【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题15【分析】先将中的所有向量用，表示，从而求出，的值，即可求出所求【解答】解：，即，即故答案为：【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义，解题的关键是将所有向量用，表示，属于基础题16【分析】（1）由题意可得：与；与；与中恰有一组共线，分别求出相应的的值即可；（2）由
9、（1）知，可得，9，再利用新定义验证，得到，3，具有性质时的，9，27，同理分别得到，3，以及，3，9，具有性质时的的值，即可得到的最大值与最小值之积【解答】解：（1）由题意可得：与；与；与中恰有一组共线，当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意，当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意，当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意，故的取值为：，9；（2）由（1）的求解方法可得，9，当时，由数集，3，具有性质，若与；与，；与中恰有一组共线，可得，；若与，；与，；，与中恰有一组共线，可得，；若与，；与，；，与中恰有一组共线，可得，27；故，3，具有性质可得，9，27；同理当时，3
10、，具有性质可得，9；同理当时，可得，27，81；则的最大值为90，最小值为，故的最大值与最小值之积为故答案为：（1），9；（2）【点评】本题考查新定义，考查平面向量共线的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大三解答题（共2小题）17【分析】（）根据题意，求出的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；（）根据题意，由向量的坐标计算公式可得若，必有，求出、的值，即可得答案；（）根据题意，求出与的坐标，由向量数量积的计算公式可得，求出的值，即可得答案【解答】解：（）根据题意，向量则，故；（）若，即，则有，解可得，故，；（）根据题意，若，则，解可得，故【点评】本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量的坐标和向量模的计算，属于基础题18【分析】（）由平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出的值（）证明平面向量与共线，即可证明，三点共线【解答】（）解：由，所以，因为与平行，所以有，解得（）证明：因为，所以，即，所以与共线，因此，三点共线【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了运算求解能力与逻辑推理能力，是基础题
