1、北京市第二十七中学2019-2019学年第一学期期中试卷高三数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1若集合，则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】集合，故选2设，为不同的直线，为不同的平面，则正确的命题为（ ）A若，则B若，则C若，则D若，且，则【答案】D【解析】选项，若，则或，故错误；选项，若，则与相交，平行或，故错误；选项，若，则与相交，平行或异面，故错误；选项，因为，所以，又，所以，故正确综上所述，故选3已知非零平面向量，“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】所以“”是“”的充分必要条件故选4
2、平面向量与的夹角为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意可得，所以，故选5实数，的大小关系正确的是（ ）ABCD【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的性质可得：故选6已知数列的前项和为，且，则取最小值时，的值是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以是以为公差的等差数列，且，令，解得，所以，当时，取得最小值故选7若函数存在极值，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】，函数有极值，即有实根，当时，恒成立，在上单调递增，此时不存在极值；同理，当时，恒成立，在上单调递减，此时不存在极值；综上所述，的取值范围是故选8设，定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的
3、最大值与最小值的差为（ ）ABCD【答案】C【解析】作出函数的图象，如图所示：若，则，若，则或，因为函数的定义域为，值域，或，当，或，时，区间的长度最小为，当，时，区间的长度最小为，所以区间的长度的最大值与最小值的差为故选二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）9已知为虚数单位，则复数_【答案】【解析】10已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则的公比的值为_【答案】【解析】因为是等比数列，所以，即，所以，解得（舍去）或故的公比为11下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的，分别为，则输出的_【答案】【解析】当，时，满足，但不满足，执行
4、后，当，时，满足，且满足，执行后，当，时，满足，且满足，执行后，当，时，满足，且不满足，执行后，当，时，满足，且不满足，执行后，当，时，不满足，输出的值12某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为_【答案】【解析】由三视图可知，三棱锥如图所示，平面平面，且，的高为，的高为，故三棱锥和体积13在中，分别是，的中点，是上一点，且向量，若，则_，_【答案】；【解析】，又，14定义在上的函数满足：当，；（）_（）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_【答案】（）（）【解析】当时，；当时，故当时，（）当时，由可知：，同理，当时，因此不必要考虑，当时，由，可得，同理时，由，可得，；此时，作出直线，则在区间和
5、各有一个零点，分别为，且满足，依次类推：，当时，三、解答题（共6小题，共80分）15（本小题满分分）已知函数（）求的最小正周期（）求在区间上的取值范围【答案】见解析【解析】（）的最小值正周期故在区间上的取值范围是：16（本小题满分分）已知等比数列满足，（）求数列的通项公式（）若，求数列的前项和公式【答案】见解析【解析】（）设等比数列的公比为，则由，得：，两式相比，解得，数列的通项公式为：易知数列是以为首项，以为公比的等比数列所以的前项和17（本小题满分分）如图，已知直三棱柱中，为的中点，（）求证：平面（）求证：【答案】见解析【解析】（）连结交于，连结，则是中点，在中，是的中点，是的中点，又平面
6、，平面，平面（）证明：连结是正方形，又由直三棱柱性质可得：平面，平面，平面，18（本小题共13分）已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程（）求的单调区间（）若函数没有零点，求的取值范围【答案】见解析【解析】（）当时，曲线在点处的切线方程，即（）函数，当时，在时，的单调增区间是；当时，令时，令，则，的单调减区间为，单调增区间为；综上所述，当时，的单调增区间；当时，单调减区间为，单调增区间为（）由（）可以知道，当时，在上单调递增，且有，此时函数有零点，不符合题意；当时，函数，在定义域上没有零点，符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，当，即时，函数没有零点，综上所述，当时，没有零点故若没有零
7、点，则的取值范围是19（本小题满分分）如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，四边形是矩形，平面平面，和分别是和的中点（）求证：平面（）求证：平面平面（）求多面体的体积【答案】见解析【解析】（）证明：四边形是正方形，又平面平面，平面平面，且平面，平面，（）证明：在中，分别是和的中点，又平面，平面，平面，设，连接，在中，是的中点，是的中点，又平面，平面，平面，又，、平面，平面平面（）由（）得，平面，又，四边形的面积，四棱锥的体积，同理四棱锥的体积，故多面体的体积20（本小题满分分）已知函数，其中是自然对数的底数，（）求函数的单调区间（）当时，求函数的最小值【答案】见解析【解析】（），令，得，令，则，令，则，故的单调减区间是，单调增区间是（）当，即时，在上单调递增，故在上的最小值；当，即，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值；当，即时，在上单调递减，故在上的最小值；综上所述，函数在上的最小值为：
