1、北京市第二十四中学2019-2019学年度第一学期高二年级理科数学学科期中考试试卷一、选择题1体积为的球的内接正方体的棱长为（ ）ABCD【答案】B【解析】设球的半径为，由得，设球的内接正方体的棱长为，则，解得，故选2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】设三视图知：几何体是直四棱柱，且直四棱柱的侧棱长是，其底面为直角梯形，梯形的上底为，下底为，直角腰为，另一腰长为，该几何体表面积故选3已知直线平面，直线平面，给出下列命题，其中正确的是（ ）ABCD【答案】C【解析】中，由，直线平面可得，又平面，所以，故正确；中，由，直线平面可得或，平面，所以与相交、
2、平行、异面都有可能，故错误；中，由，直线平面可得平面，又平面，所以，故正确；中，由，直线平面可得平面，所以与相交、平行都有可能，故错误；综上所述，命题中正确的是，故选：C4如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图，连接，即异面直线和所成夹角，在正方体中，各面对角线相等，为等边三角形，即异面直线与所成角为故选5下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ）ABCD【答案】B【解析】项，如图，连接，可知，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故项正确；项，若下底面中心为，则，平面，所以与面不平行，故项错误；项，如图
3、，连接，但与平面相交，所以与面不平行，故项错误；项，如图，连接，则，所以平面，故项正确综上，能得出平面的是，故选6如图，为正方体，下面结论错误的是（ ）A平面BC平面D异面直线与角为【答案】D【解析】选项，平面，故项正确；选项，由正方体性质可得，而是在底面内的射影，由三垂线定理知，故项正确；选项，由三垂线定理可得，平面，故项正确；选项，即是与所成角，显然，故项正确7已知、，直线过点，且与直线相交，那么直线的斜率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由已知可得：，若直线与有交点，则或，所以直线的斜率的取值范围是，故选8已知直线与平行，则的值是（ ）A或B或C或D【答案】C【解析】当时，两直
4、线的斜率都不存在，满足题意，当时，解得，综上，或，故选9经过两直线和的交点，且和原点相距为的直线的条数为（ ）ABCD【答案】C【解析】由方程组，解得两条直线的交点为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意，当直线的斜率不存在时，设所求直线的方程为：，即，由点到直线的距离公式得，解得：，直线方程为：故所求直线方程为：或满足条件的直线有条，故选10圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】圆心在轴上，半径为，设圆的方程为，圆过点，将代入圆的方程得，解得：，则所求圆的方程为，故选11已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程是（ ）ABCD【答案】A
5、【解析】圆的圆心是直线与轴的交点，令中，得，即圆心为，圆与直线相切， 圆心的到直线的距离，即，圆的方程是，故选12已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题，圆的圆心与圆的圆心关于直线对称，则圆的半径为，的圆心为，设的圆心为，则，解得，所以圆的方程为，故选二、填空题（每小题3分，共24分）13已知直线，和平面，且，则与的位置关系是_【答案】或【解析】由线面的位置关系可知当，时， 或14如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，若点是线段上的动点，则满足的点的个数是_【答案】【解析】连结，底面，平面从而故问题转化为在梯形中，点是线段上的动点，求满足的点的个数，设，则，
6、化简得，解得或，故满足的点的个数是，即满足的点的个数是15如图，在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值是_【答案】【解析】，（或其补角）就是异面直线与所成的角，在中，16直线经过、两点，那么直线的倾斜角的取值范围是_【答案】【解析】，所以17直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为，则直线的方程为_【答案】或【解析】设直线的方程为，直线经过点，将点代入可得：，又，联立，解得或，直线的方程为或，即或18以点为圆心并且与圆相外切的圆的方程是_【答案】【解析】设所求圆的方程为，该圆与圆，即相外切，圆心距，解得：，故所求圆的方程为：19在平面直角坐标系中，已知圆上有且只有四个点到直线的距离为，则实
7、数的取值范围是_【答案】【解析】圆的半径是，圆上有且仅有四个点到直线的距离为，坐标原点到直线的距离小于，即，解得，故的取值范围是20已知圆，则圆心的坐标是_；若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是_【答案】；【解析】圆化为标准方程是，圆心的坐标是，又直线与圆有两个不同的交点，圆心到直线的距离，即，解得：，故的取值范围是三、解答题（共40分）21如图，在直三棱柱中，点、分别是和的中点求证：（）平面（）平面平面【答案】见解析【解析】（）证明：连结交于，则是中点，连接，在中，点是的中点，是的中点，平面，平面;平面（）证明：由直三棱柱的性质可知，平面，平面，又，是的中点，平面，又平面，平面平面22
8、直线与直线相交于点求：（）经过点和点的直线方程（）过点与直线垂直的直线方程【答案】见解析【解析】联立，解得，即点直线过和点，故直线方程为（）设与直线垂直的直线方程为，将代入得，解得，故过点且与直线垂直的直线方程为：23已知圆（）已知不过原点的直线与圆相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程（）求经过原点且被圆截得的线段长为的直线方程【答案】见解析【解析】（）已知圆化为标准方程为：，圆心为，半径为，因直线不过原点，且在轴，轴上的截距相等，故可设直线方程为，直线，解得或，故直线的方程为或（）若直线被圆截得的线段长为，则圆心到直线的距离，又直线过原点，当斜率不存在时，直线为，符合题意；当斜率存在时
9、，设直线为，即圆心到直线距离，解得：，直线方程为：综上所述，经过原点且被圆截得的线段长为的直线方程为：或24如图，已知一四棱锥的底面是边长为的正方形，且侧棱底面，且，是侧棱上的动点（）求四棱锥的体积（）证明：（）求二面角的正切值【答案】见解析【解析】（）因为四棱锥的底面是边长为的正方形，且侧棱底面，所以（）连结，是正方形，又底面，平面，平面，又平面，（）设，相交于，连，由（）知，平面，又，是面角的一个平面角所以，即面角的正切值为（第25题1班学生必做！）25已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切（）求圆的方程（）设直线与圆相交于、两点，求实数的取值范围（）在（）的条件下，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】（）设圆心为，因为圆与直线相切，且半径是，所以圆心到直线距离等于半径，即，解得：（舍去）或故所求圆的方程是（）因为直线与圆相交于、两点，所以圆心到直线的距离小于半径，即，化简得：，或故实数的取值范围是（）设符合条件的实数存在，由（）得，则直线的斜率为，的方程为，即，垂直平分弦，故圆心必在上，解得：故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦
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