1、课时分层作业 二十三圆的一般方程一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2018万州高二检测)与圆x2+y2-4x+6y+3=0同圆心，且过点(1，-1)的圆的方程是()A.x2+y2-4x+6y-8=0B.x2+y2-4x+6y+8=0C.x2+y2+4x-6y-8=0D.x2+y2+4x-6y+8=0【解析】选B.由已知，可设所求圆的一般方程为x2+y2-4x+6y+F=0，将点(1，-1)代入得F=8，所以圆的一般方程为x2+y2-4x+6y+8=0.2.x2+y2+3x-y-1=0的圆心坐标，半径分别为()A.(3，-1)，1B.，-，C.-，D.-，【解析】选C.x2+y2+3x-y
2、-1=0可化为x+2+y-2=.3.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为()A.8B.4C.2D.【解析】选C.圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=2，所以半径为，面积为2.4.方程x2+y2+ax+by+c=0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为()A.2，2，2B.-2，4，4C.4，-4，4D.-4，-4，4【解析】选D.圆心为C(2，2)，半径为2的圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=4，展开得x2+y2-4x-4y+4=0，所以a=-4，b=-4，c=4.5.已知两点A(-2，0)，B(0，2)，点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则ABC
3、的面积最小值是()A.3-B.3+C.3-D.【解析】选A.直线AB的方程为x-y+2=0，圆心到直线AB的距离为d=，所以，C到直线AB的最小距离为-1，SABC的最小值为|AB|-1=2-1=3-.6.如果过A(2，1)的直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分，则l的方程为()A.x+y-3=0B.x+2y-4=0C.x-y-1=0D.x-2y=0【解析】选A.由题意知直线l过圆心(1，2)，由两点式可得直线的方程为x+y-3=0.二、填空题(每小题5分，共10分)7.圆C：x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=_.【解析】因为圆心(1，2)，所以d=3.
4、答案：38.(2018沭阳高二检测)已知圆的方程为x2+y2-2x-2y=0，则其半径为_.【解析】圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2，其半径为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.圆心在直线y=x上，且过点A(-1，1)，B(3，-1)，求圆的一般方程.【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意得解得D=E=-4，F=-2，故所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.10.(2018天津高二检测)已知圆C：x2+y2+2x-2y-2=0和直线l：3x+4y+14=0.(1)求圆C的圆心坐标及半径.(2)求圆C上的点到直线l距离的最大值.【解析】
5、(1)圆的方程化为(x+1)2+(y-1)2=4，所以圆心C的坐标为(-1，1)，半径r=2.(2)圆心C到直线l的距离d=3，所以圆C上的点到直线l距离的最大值为d+r=5.一、选择题(每小题5分，共25分)1.圆C的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0，则其圆心坐标为()A.(1，-1)B.C.(-1，2)D.【解析】选D.将圆的方程化为一般式方程，得x2+y2+x+2y-10 =0，由于- =- ，- =-1，所以圆心为.2.(2017重庆高一检测)已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，则圆的方程是()A.x2+y2-4x=0B.x2+y2+4x=0C.x
6、2+y2-2x-3=0D.x2+y2+2x-3=0【解析】选A.因为圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，所以圆的圆心坐标为(2，0)，所以圆的方程为(x-2)2+y2=4，即x2+y2-4x=0.【补偿训练】直线l与圆C：x2+y2+2x-4y+a=0(a0，即a2.因为圆关于直线y=x+2b对称，所以圆心在直线y=x+2b上，即-3=1+2b，解得b=-2，所以a-b0，即k0，即m-13，又D2+E2-4F=4+9-4m0，所以m.答案：-13m0这一条件而导致出现m-13的错误.9.若圆x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有点都在第二象限，则a的取值范围为_.【解
7、析】由x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0，得(x+a)2+(y-2a)2=4，其圆心坐标为(-a，2a)，半径为2，由已知，解得a2，所以，a的取值范围为(2，+).答案：(2，+)三、解答题(每小题10分，共30分)10.已知方程x2+y2+2(m+3)x-2(2m-1)y+5m2+2=0(mR)表示一个圆.(1)求m的取值范围.(2)若m0，求该圆半径r的取值范围.【解析】(1)依题意：4(m+3)2+4(2m-1)2-4(5m2+2)0，即8m+320，解得：m-4，所以m的取值范围是(-4，+).(2)r=.因为m0，+)，所以r2.所以r的取值范围是2，+).11.已知圆心为
8、C的圆经过点A(1，0)，B(2，1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程.【解析】方法一：设圆心C的坐标为(0，b)，由|CA|=|CB|得=，解得b=2.所以C点坐标为(0，2).所以圆C的半径r=|CA|=.所以圆C的方程为x2+(y-2)2=5，即x2+y2-4y-1=0.方法二：AB的中点为，中垂线的斜率k=-1，所以AB的中垂线的方程为y-=-，令x=0，得y=2，即圆心为(0，2).所以圆C的半径r=|CA|=，所以圆的方程为x2+(y-2)2=5，即x2+y2-4y-1=0.【拓展延伸】圆的一般方程和标准方程的选择技巧(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标
9、或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F.12.已知点P(x，y)，A(1，0)，B(-1，1)，且|PA|=|PB|.(1)求点P的轨迹方程.(2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由.【解析】(1)由已知，=，两边同时平方，化简得x2+y2+6x-4y+3=0，即点P的轨迹方程为x2+y2+6x-4y+3=0.(2)方法一：由(1)得(x+3)2+(y-2)2=10，故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为(-3，2)，半径为.方法二：
10、由(1)得D=6，E=-4，F=3，所以D2+E2-4F=36+16-12=400，故点P的轨迹是圆.又-=-3，-=2，所以圆心坐标为(-3，2)，半径r= =.【补偿训练】已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0，及点Q(-2，3).(1)P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率.(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值.【解析】(1)因为点P(a，a+1)在圆上，所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0，所以a=4，P(4，5)，所以|PQ|=2，kPQ=.(2)因为圆心C坐标为(2，7)，所以|QC|=4，圆的半径是2，点Q在圆外，所以|MQ|max=4+2=6，|MQ|min=4-2=2.【拓展延伸】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系，解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面：(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.
