1、 第04讲 一元二次方程概念和解法 温故知新解下列关于方程：（1）； （2）。 课堂导入解分式方程的步骤：（1）去分母，即在方程两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于的根是原方程的根，否则，便是增根，必须舍去 知识要点一 一元二次方程概念1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫一元二次方程。（1）当 时，关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0 是一元二次方程（2）当 时，关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0 是一元一次方程2 、 一 元 二 次 方 程的 一般
2、形 式 是 ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c 是常数且 a 0 )，其中 ax2 叫 做 ， bx叫做 ， a 叫做 ， b 叫做 ， c 叫做 典例分析例1下列方程是一元二次方程的有 。 （1） （2） x2 - 3xy + 7 = 0 （3） x += 4 （4） m3 - 2m + 3 = 0 （5） x2 - 5 = 0 （6） ax2 - bx = 4例2. 已知方程 (k 2 -1)x2 + (k +1)x - 5 = 0 ，（1）当 k 为何值时，是一元二次方程？（2）当 k 为何值时，是一元一次方程？例 3. 方程 4x2 =13 + 2x 化为一般形式为
3、，它的二次项系数是 ， 一次项系数是 ， 常数项是 学霸说者归纳一：只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程赤归纳二：1、当 a 0 时，关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0 是一元二次方程 2、当 a = 0,b 0时，关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0 是一元一次方程裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。举一反三1下列方程不是一元二次方程的是（）A x2 + 2x +1 = 0 B x2 =1- 3x C 0.1x2 - x +1 = 0 D x2 + x = (x +1)(x - 2)2. （1）当 m = 时，关
4、于 x 的方程 (m - 2)x2 + mx = 5 是一元一次方程，当m 时，关于 x 的方程 (m - 2)x2 + mx = 5 是一元二次方程（2）关于 x 的方程 (k - 3)+ kx +1 = 0 是一元二次方程，求 k 的值 3. 把一元二次方程 (1- 3x)(x + 3) = 2x2 +1化成一般形式是 ； 它的二次项是 ；一次项系数是 ；常数项是 知识要点二一元二次方程的解法一1、使方程 的未知数的值叫做方程的解。若 是 ax2 + bx + c = 0 的根，则1ax 2 + bx + c = 012、直接开平方法：形如 x 2 = p 或 (mx + n)2 = p
5、( p 0 )的一元二次方程，可以两边同时直 接开平方得到 x = 或 mx + n = 的形式，得到该方程的两根3、用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）、整理：整理成二次项系数为 的一般形式；（2）、移项：把 移到方程的右边；（3）、配方：方程两边都加上 ；（4）、两边同时开平方：把原方程变为 (x + m)2 = n 的形式后，两边同时 ；（5）、答案：写出答案典例分析例1已知关于 x 的一元二次方程 x2 - (2a -1)x + a = 5 的一个解为 1，求 a 的值例2用直接开方法解下列方程： （1） x 2 - 9 = 0 （2） (2x -1)2 - 4 = 0例3用配方法
6、解下列方程：（1） x2 = 5 - 4x （2） 2x2 - 6x +4 = 0举一反三1若 n（ n 0 ）是关于 x 的方程 x2 + mx + 2n = 0 的根，则 m + n的值 为（）A1 B2 C-2 D-12.已知方程 x2 + bx + a = 0 有一个根是 -a(a 0) ，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A ab B C a + b D a - b3. 用直接开方法解下列方程：（1） (x + 3)2 = 1 （2） 2(4x - 5)2 = 184.（1）当 x 取何值， y = x2 - 4x + 7 有最小值？并求出它的最小值。（2）解方程： 2x2 + 3x
7、 - 2 = 0知识要点三 一元二次方程的解法二1、用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）整理：把原方程整理成 ；（2）确定 a 、 b 、 c 的值，（各项系数若有分数，通常化为整数）- b b 2 - 4ac - 4ac（3）计算 的值，并判断这个值的正负：若 b2 - 4ac 0 ，则写出公式 x =， 代入 a 、 b 、 c 及 b2 - 4ac2a的值并计算；写出答案： x1 = ， x2 = 若 b2 - 4ac 0 ，则方程没有实数根2 、因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程整理成 ；（2）把方程左边分解成 的形式，右边为 ；（3）令这两个一次因式分别等于 ，得到两
8、个一元一次方程；（4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；（5）写出答案。3 、四种解法的灵活运用：对于方程 ax2 + bx + c = 0(a 0,b2 - 4ac 0)（1）若 b = 0 ，则可以用 法解；（2）若 c = 0 ，则可以用 法解；（3）若 b 0,c 0 ，则要准确把握方程的特征，选用适当的解法. 方 程 化 为 一般 形式ax2 + bx + c = 0，(a0 )后 ， 左 边 易 于 因 式 分 解 的 ， 用 法解 ; 若方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 中， a =1， b 是偶数，考虑用 法; 若二次方程 ax2 + bx + c =
9、0(a 0) 的左边因式分解困难，配方法也很麻烦的，用 法; 典例分析例1用求根公式法解下列方程：（1） 2x2 + x - 6 = 0解：（1） a = ,b = ,c = b2 - 4ac = = - b b 2 - 4ac x = - 4ac =2a x1 = , x2 = 例2用因式分解法解下列方程：（1） x2 - 4x = 0 （2） x(x +1) - 3(x +1) = 0举一反三1用求根公式法解下列方程：(1） x2 = 4x - 4 （2） 2x2 - 4x + 5 = 02用因式分解法解下列方程： (x +1)2 = 2(x +1) 课堂闯关初出茅庐1关于 x 的方程 (
10、m +1)x2 - 3mx + 4 = 0 是一元二次方程的条件是 2. 一元二次方程 x(2x -1) = 3x(x - 2) 的一般形式是 ，二次项系数 是 ，一次项系数是 ，常数项是 3.若方程 x2 + x - a = 0 的一个根是为 1，则 a = 4.已知关于 x 的方程 x2 - kx - 6 = 0 的一个根为 x = 3 ，则实数 k 的值为（ ） A1 B -1 C2 D -25.方程 x2 - 4 = 0 的根是（ ） A x = 2 B x = -2 C x1 = 2，x2 = -2 D x = 46.用配方法解方程 x2 - 4x +1 = 0 ，经过配方，得到（
11、） A (x + 2)2 = 5 B (x - 2)2 = 5 C (x - 2)2 = 3 D (x + 2)2 = 37. 不解方程，判断方程 5x 2 - 7x + 5 = 0 的根的情况是（） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 8.若关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x + m = 0 有两个不相等实数根，则实数 m 的取值范围是（）A m -1 C m 1 D m -19. 方程 (x - 3)(x +1) = x - 3 的解是（ ）A x = 0 B x = 3C x = 3 或 x = -1 D x = 3 或 x = 010.
12、用适当的方法解下列方程（1） （2） 3x2 = 4x （3）5x2 - 3x - 7 = 0（4） (x +1)2 = 2(x +1) （5） x2 - 4x - 396 = 0 （6） x(x - 6) = 2(x - 8) 优学学霸1关于 x 的方程 mx2 - 3x = x2 - mx + 2 是一元二次方程的条件是 2已知关于 x 的一元二次方程 (m - 2)x2 + 3x + m2 - 4 = 0 有一个解是 0，则 m 3.关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两根为 1 和-1，则 a + b + c ， a - b + c 4.若方程为一元二次方程，
13、则 a = 5.用配方法解方程 3x2 - 6x +1 = 0 ，则方程可变形为（ ）A. B. C. (3x -1)2 = 1 D.6.已知关于 x 的方程 kx2 - (2k +1)x + k = 0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围？7.证明：不论 x 取何值，代数式 x2 - 4x + 9 的值总大于 08.已知 x2 + y2 + 4x - 6 y +13 = 0 ，求 x, y 的值 考场直播1关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）请选择一个整数k值，使方程的两根同号，并求出方程的根2.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+
14、2bx+（ac）=0，其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x=1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由 自我挑战1用配方法解方程 x2 - 4x + 2 = 0 ，下列配方正确的是（）A (x - 2)2 = 2 B (x + 2)2 = 2 C (x - 2)2 = -2 D (x - 2)2 = 62一元二次方程 2x2 -6 = 0 的解为 3已知 x =1是一元二次方程 x 2 + mx + n = 0 的一个根，则 m2 + 2mn + n2 的值为 4当m满足条件： 时，方程mx23x=2x2mx+2是关
15、于x的一元二次方程5若 3x2 - 5x + c = 0 有实数根，则实数 c 的取值范围是 6若方程 kx2 - 6x +1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 7解下列方程：（1） 9x2 =1 （2） (x + 3)2 = 25（3） x2 - 2x - 3 = 0 （4） 2x 2 + 3x - 2 = 08已知m是关于x的方程x22x3=0的一个根，则2m24m= 9关于x的一元二次方程x2+（2a1）x+5a=ax+1的一次项系数为4，则常数项为： 10在实数范围内定义运算“”，其规则为ab=a2b2，则方程（23）x=9的根为 11解方程（：（x+1）（x+2）=2x+4 12阅读下面的例题，范例：解方程x2|x|2=0，解：（1）当x0时，原方程化为x2x2=0，解得：x1=2，x2=1（不合题意，舍去）（2）当x0时，原方程化为x2+x2=0，解得：x1=2，x2=1（不合题意，舍去）原方程的根是x1=2，x2=2请参照例题解方程x2|x1|1=0
