1、几何综合题2021年二模1如图1，在中，点是的中点，连接，点是上一点，连接并延长交于点（1）若点是中点，求证：；（2）如图2，若求证：；猜想的值并写出计算过程【答案】（1）见解析；（2）见解析；【分析】（1）证明BCFACD（SAS），由全等三角形的性质得出CBF=CAD，则可得出答案；（2）连接CE，证明EAFCAE，由相似三角形的性质得出，设AC=BC=2x，则BD=CD=x，AD=x，得出AE=CF=（-1）x，则可得出结论；由可得出AF和CF的值，化简的比值则可得出答案【详解】解：（1）证明：，点是的中点，点是中点，；（2）证明：连接，即，；设，则，；猜想：，理由如下：，【点睛】本题是
2、三角形综合题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键2如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，连接、，点G是的中点，连接并延长交于点K（1）求证：；（2）当点E是的中点时，求的值；（3）连接，当线段取最小值时，求的值【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）由正方形的性质证明，得到，继而根据三角形内角和180解得即可解题；（2）当是中点时，设，由勾股定理得到，过点作于点，利用勾股定理解得BM、EM的长，即可解题；（3）根据90所对的弦是直径，得到在以为直径的半圆上，连接交半圆于点，计算
3、，根据全等三角形的性质解题即可【详解】解：在正方形中，AB=BC=CD=AD, ，在与中是中点，；（2）当是中点时，设过点作于点，设；（3）在以为直径的半圆上，如图，连接交半圆于点，【点睛】本题考查四边形综合题，涉及90所对的弦是直径、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正切等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键3如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC 的中点，连接AF、DE交于点G（1）求证：AFDE；（2）如图2，连接BG，求证：BG平分EGF；（3）如图3，连接BD交AF于点H， 设ADG的面积为S，求证：BG2=2S【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解
4、析【分析】（1）利用正方形的性质证明DAEABF，得到ADE=BAF，推出DAG+ADG=90，即可得到结论；（2）如图2，过点B作BMAF，垂足为M，设BF=a，则AB=2a，AF=a，利用平行线的性质及勾股定理求出BM=a，AM=a，得到GM=BM=a，推出BMG为等腰直角三角形，求出BGM=BGE，由此得到结论； （3）根据ADG的面积为S，则AGDG=2S，过点B作BMAF，垂足为M，由（2）推出BG2=2BM2，证明DAGABM，得到BM=AG，AM=DG，由AGDG=2AG2=2S，得到AG2=S ， 即可得到结论【详解】（1）四边形ABCD是正方形，AD=AB=BC，DAE=AB
5、F=90，E、F分别为边AB、BC 的中点，AE=BF，DAEABF，ADE=BAF，DAG+EAG=90，DAG+ADG=90，AGD=90，AFDE；（2）如图2，过点B作BMAF，垂足为M，则BM/GE，AE=BE，AG=GM，设BF=a，则AB=2a，AF=a，,，BM=a，AM=a，GM=BM=a，BMG为等腰直角三角形，BGM=45，BGE=90-45=45，BGM=BGE，BG平分EGF；（3）ADG的面积为S，则AGDG=2S，过点B作BMAF，垂足为M，由（2）知：GM=AG，BM=AM，BG2=2BM2，AGD=AMB=90，ADG=BAM，AB=AD，DAGABM，BM=
6、AG，AM=DG，AG=DG，AGDG=2AG2=2S，即AG2=S ，BM2=S，BG2=2BM2=2S【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键4在中，垂足为点D，点E为延长线上一点，且，延长交于点F（1）若，请判断的形状，并给出证明；（2）若，求证：；（3）若，求的长【答案】（1）等边三角形，证明见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由题意解得，继而由直角三角形中，30的对边等于斜边的一半，解得，结合三角形外角性质可求得都等于，据此解题；（2）过点作，交延长线于点，根据同旁内角互补两直线平行得到，继而
7、证明，根据全等三角形对应边相等的性质得到，再由平行线的性质解得，由此证明，最后根据相似三角形对应边成比例的性质解题；（3）过点作交延长线于点，由勾股定理解得AB的长，根据三角形内角和180证明，继而证明，根据相似三角形对应边成比例的性质解得，再由平行线性质证明，最后根据相似三角形对应边成比例结合勾股定理解题即可【详解】解：（1）为等边三角形，理由如下，为直角三角形为等边三角形；（2）如图，过点作，交延长线于点， ；（3）过点作交延长线于点，【点睛】本题考查三角形综合题，涉及含30的直角三角形性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和与外角的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似
8、三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键5等腰直角AOB和等腰直角COD按如图方式放置，AOBCOD90，连接AC、BD，二者交于点P（1）求证：BDAC；（2）连接OP，若OP平分AOD，且角AOD40，求BDO的度数；（3）点M、N分别是AB、CD的中点，连接MN，求的值【答案】（1）见解析；（2）25；（3）【分析】（1）由题意，先证明BODAOC，即可得到结论成立；（2）易证得APB=90，由圆周角定理的推论可知点P、O，在以AB为直径的圆上，则，再根据外角的性质及角平分线的性质求解即可；（3）先证明，再根据对应边成比例，即可求得的值【详解】解：（1）AO
9、BCOD90，AOB+AODCOD+AOD，即，BO=AO，DO=CO，BODAOC，BDAC；（2）如图，设AO、BD相交于点E，BODAOC，DBO=CAO，AEP=ABE+BAE，AEP+PAO=ABE+BAE+DBO=BAO+ABO=90，APE=90，点P在以AB为直径的圆上，AOB=90，点O在以AB为直径的圆上，BPO=BAO=45；又POD=AOD=20，PDO=BPOPOD=25；（3）连接OM、ON，如图：点M、N分别是AB、CD的中点，又，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正
10、确的作出辅助线进行分析6已知：在正方形ABCD中，点E、F、G分别在BC、AB和CD上，FGED，垂足为点H（1）如图1，点G与点C重合，求证： FG=ED；（2）如图2，点G与点C不重合，延长FG交BC的延长线于点M，若H为FM的中点，求证：AF=CM；（3）如图3，在（2）的条件下，取AD的中点N，连接HN，若BF=2AF，HN=，求EM的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EM5【分析】（1）根据正方形的性质得到B=BCD=90，BC=CD，根据DEFC，证明HDC=HCE，即可证明BCFCDE（ASA），运用全等三角形性质即可证得结论；（2）连接DF，DM，根据线段垂直平分线的
11、性质得到DF=DM，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）过H作PQAB交AD于P交BC于Q，则四边形PQBA是矩形，于是得到PQ=AB，AP=BQ，APQ=PQB=90，设AF=x，BF=2x，求得AB=PQ=BC=3x，根据三角形中位线的性质得到HQ=BF=x，BQ=QM=2x，求得2PH=2x，AP=2x，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，BBCD90，BGCDDEFG，DHG90HDC+DGHHGE+DGH，HDCHGEBGFCDE，FGED；（2）连接DF，DM，如图DEFG，H为FM的中点，DFDMADCM90，ADDC，RtAD
12、FRtCDM，AFCM；（3）过H作PQAB交AD于点P，交BC于点Q，如图，则APQPQB90，四边形PQBA是矩形，PQAB，APBQ设AFx，则CMAFxBF2AF，BF2x，ABPQBC3xH为FM的中点，HQBF，HQBFx，BQQM2x，PH2x，AP2x点N是AD的中点，ANADx，NP=xHN2PN2+PH2，（x）2+（2x）2，取正值得x2，BF4，BM8，FM，HMBEHM90，HMEBMF，EHMFBM，EM5【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键
