1、几何压轴题（2021年二模）1已知，在中，.点为边延长线上一动点，过点作于点并交于点，连接.点是的中点连接（1）如图1，小华研究发现和有特定的数量关系，请你认真研究当时，求出（2）在（1）小题的结论下，如图2，在点的运动过程中，当时式子的值不变猜想这个值并证明你猜想的结论（3）在（1）小题的结论下，如图3，过点作交于点.在的延长线上取点.使得，连接在点的运动过程中，当取得最小值时，请直接写出的值【答案】（1）2B+CFE=180，60；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到FA=FE，FC=FD，从而得到FAE=FEA，FCD=FDC，EFC=180
2、-AFE-DFC，利用三角形内角和定理变形计算即可；（2）如图，在DE上截取DH=AE，证明三角形ECH是等腰直角三角形即可；（3）如图，取AB的中点G，连接FG，证明F的在中位线FG上，根据垂线段最短，确定出最小值的位置，后过点F作FHCN，垂足为H，通过特殊角的函数值，灵活解直角三角形即可【详解】（1）如图1，AED=ACD=90，AF=DF，FA=FE=FC=FD，FAE=FEA，FCD=FDC，EFC=180-AFE-DFC，EFC=180-（180-2FAE）-（180-2FDC），EFC=180-180+2FAE-180+2FDC，EFC=2FAE+2FDC -180，EFC=2（
3、180-B） -180，EFC=2（180-B） -180，2B+CFE=180，B=CFE，B=60，（2）这个值是；理由如下：BED=ACD=BCA=90，B+BAC=90，B+GDC=90，BAC=GDC，BC=GC，BCAGCD，CA=CD，如图，在DE上截取DH=AE，EAC=HDC，CA=CD，CEACHD，CE=CH，CEA=CHD，CEB=CHG，CEB+CEH=90，CHE+CEH=90，ECH=90，,EH=CE，DE-DH=CE，DE-AE=CE，=；（3）如图，取AB的中点G，连接FG，F是AD的中点，FG是ABD的中位线，FGBD，点F在经过点G且平行于BD的直线上，
4、根据垂线段最短原理，得当NFFG时，NF最小，FGBD，NFBD，垂足为P，设BM=x，B=60，BMC=90， tan60=，cos60= , BCM=30， CM=，BC=2x，CN=，PCN=30，BAC=30，AMC=90， AC=2CM=2，F是AD的中点，NFBD，ACCD，FPAC，FP是ACD的中位线， FP=， CN=，PCN=30，PN=， N=60，FN=FP+PN=+=，过点F作FHCN，垂足为H，FH=FNsin60=，HN= FNcos60=，CH=CN-HN=-=，在直角三角形FCH中，,FC=，sinFCN=【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值
5、，三角形全等的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握基础知识，灵活构造辅助线，准确解直角三角形是解题的关键2如图，在中，于点，于点，（1）如图1，将沿翻折到，交于点，探索线段、之间有何等量关系，并加以证明；（2）如图2，为直线上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转60到，连接，若，求的最小值【答案】（1）；（2）【分析】（1）证明BAF是等边三角形，推出GAE=60，再解直角三角形可得结论（2）如图2中，如图，在DC上取一点J，使得DJ=BD，连接AJ，JH，HH证明BAHJAH（SAS），推出ABH=AJH=60，推出BJH=120，推出点H的运动轨迹是射线JH，由此可知
6、当CHJH时，CH的值最小【详解】解：（1）理由：如图1中，ADF是由ABD翻折得到，AB=AF，B=60，ABF是等边三角形，BAF=60，CEAB，AEG=90，AB=EC，（2）如图2中，如图，在DC上取一点J，使得DJ=BD，连接AJ，JH，HHADBJ，BD=DJ，AB=AJ，ABJ=60，ABJ是等边三角形，BAJ=HAH=60，BAH=JAH，AB=AJ，AH=AH，BAHJAH（SAS），ABH=AJH=60，AJB=60，BJH=120，点H的运动轨迹是射线JH，当CHJH时，CH的值最小，在RtABD中，B=60，在RtBCE中，CH的最小值=【点睛】本题属于三角形综合题，
7、考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题3如图，在中，将 绕点顺时针旋转得到 ，点，点旋转后的对应分别为点，点（1）当点恰好为线段的中点时， （2）当线段与有交点时，记交点为点.猜想线段与 的数量关系，画出图形并加以证明；（3）在满足（2）的条件下，连接，请直接写出长度的取值范围【答案】（1）60，2；（2），答案见解析；【分析】（1）证明是等边三角形即可解决问题（2）根据要求画出图形结论：如图2，过点作的平行线，交于点，记证明，可得结论（3）如图1中，当时，的值最大，当时，的值最小，分别求出最大值，最小
8、值即可【详解】解：（1），是等边三角形，故答案为：60，2；（2）图形如图所示：结论：理由：如图2，过点作的平行线，交于点，记将绕点顺时针旋转得到，在和中，；（3）如图中，当点落在上时，的值最大，此时是等边三角形，的最大值如图中，随的增大，的值逐渐减小，时，的值最小，最小值，【点睛】本题考查作图旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键4在中，垂足为，点是延长线上一点，连接（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，点是线段上一点，点是外一点，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：【答案】（1）；（2）见解析【分析】（
9、1）先由，即可求出AM和BM的长，从而求出，再由勾股定理可得的长；（2）延长到点，使得，证得，再证可得，从而得，即可得【详解】解：（1），则，在中，；（2）延长到点，使得，连接，又，【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理以及三角形全等的判定和性质作出辅助线也是解答本题的关键5在等腰中，延长至点，延长至点，使得，交于点，过点作交延长线于点，连接、（1）如图1，若，求点到的距离；（2）如图2，若点为的中点，连接，求证：；（3）如图3，若，点、分别为线段、上的点，满足，连按，将绕点顺时针旋转90，点旋转后的对应点为点，连接，直接写出的最小值【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）由
10、已知可证，可知DE=DH，是等腰三角形，因底边EH已知，所以可用三角形的面积公式加以解决；（2）设与相交于点，借助于三角形的全等和线段的和差即可得证；（3）根据旋转的性质，将线段AM构造在直角三角形中，利用勾股定理和二次函数，可求得AM的最小值【详解】解：（1）过点作于点，过点作，则EK=HK=1（2）设与相交于点点为的中点， CF=BF QCF=HBF=45，又CFQ=BFH，连接 在和中，又，（3）如图所示，过点F作FGAB于G，连接NG设点C的对应点为P，绕点F顺时针旋转90得到，C=45，CF=PF，点P在AC上；APM=90且PM=CN在等腰中，又，CAB=FGB=90，CNFG四边
11、形CNGF是平行四边形NG=CF设AN=AG=x，则NG=CF=PF=，PM=CN=2-x，CP=2x，AP=2-2x在中，是关于x的二次函数，且开口向上当时，的最小值是AM的最小值是【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、二次函数的性质等知识点，熟知相关性质是解题的基础，而善于发现问题、解决问题的能力是关键6在ABC中，ACBC，D为ABC外一点，连接CD（1）如图1，若ACB60，CDAB，连接BD交AC于点E，且CD2AB2，求SBCE（2）如图2，CECD，ECBDCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FGEC
12、，M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MNBF（3）如图3，若ACB90，CDAB，将AD绕着A点顺时针旋转60得到AD，连接DD，BD，且AC，求BD的最小值【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）3【分析】（1）由题意过点B作BHAC于H想办法求出EC，BH，可得结论；（2）根据题意延长AN到H，使得NHAN，连接FH，CF利用全等三角形的性质证明FHBF，可得结论；（3）根据题意在直线CD上取两点E，F，连接AE，AF，使得AEF是等边三角形，过点A作AREF于R，连接ED，过点B作BHED交ED的延长线于H，设AB交EH于J证明CHE60定值，推出点D的运动轨迹是直线ED，当B
13、D与BH重合时BD定值最小，求出BH即可【详解】解：（1）如图1中，过点B作BHAC于HACBC，ACB60，ABC是等边三角形，ABBCAC1，BHAC，AHCH，BH，ECAC，SBECECBH（2）证明：如图2中，延长AN到H，使得NHAN，连接FH，CFDNCN，ANDHNC，ANNH，ANDHNC（SAS），ADCH，ADNNCH，CDCE，DCAECB，CACB，DCAECB（SAS），ADBE，CDACEB，FG垂直平分线段EC，CGEG，FCFE，FGEC，FGGCGE，FECFCE45，CDECED45，DCE90，DCF45，FCHNCH+45，BEFCEB+45，FCHB
14、EF，CHBE，CFEF，FCHFEB（SAS），FHBF，AMFM，ANNH，FH2MN，BF2MN即 （3）如图3中，在直线CD上取两点E，F，连接AE，AF，使得AEF是等边三角形，过点A作AREF于R，连接ED，过点B作BHED交ED的延长线于H，设AB交EH于JCACB，ACB90，ABAC2，CAB45，ACDCAB45，ARCD，ARRC，AEF是等边三角形，AE2，DADEAF60，DAEDAF，DADA，EAFA，AEDAFD（SAS），AEDAFD60，AEF60，CED60定值，点D的运动轨迹是直线ED，当BD与BH重合时BD定值最小，AJECEH60，AJE是等边三角形
15、，AJAE2，BJABAJ22，BHBJsin60，BD的最小值为【点睛】本题属于几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题7如图1，在RtABC与RtABD中，ACBADB90，BAC60，CEAB交AB于点E，AEAD，点F在线段BD上，连接AF（1）若AC4，求线段BD的长；（2）如图2，若DAF60，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CMBF+AC；（3）如图3，在（2）的条件下，将ADF绕点A旋转得ADF，连接BF，点M为线段BF的中点，连接DM，当DM长度取最小时，在线段AB上有一动点N
16、，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60至MN，连接DN，若AC4，请直接写出（2MNDN）的最小值【答案】（1）；（2）见解析；（3）的最小值为【分析】（1）利用30角求出AB和AE的长度，AE即为AD长度，利用勾股求出BD长度；（2）构造两个120的等腰三角形，底边FFAFAC，得出AC+FBFB，根据SAS证ABFABF，得FBBF，由中位线得BF2CM，即可得证结论；（3）延长FD，使DFDF，由D、M分别为中点，得DMFB，当F、A、B 三点共线时FD最小，则DM最小，确定此时点D在AC上，过M作AC平行线MP，易得DPM为等边三角形，由MNN是等边三角形，根据SAS证DMNPMN
17、，可得MDNMPN60PDM，即确定了N运动轨迹在直线DP上，2MN+DN，可转化为等腰直角三角形得斜边和直角边数量关系，最后根据三角形两边之差第三边（共线时取等号）求出最小值即可【详解】解：（1）ACB90，BAC60，AC4，ABACcos608，CEAB，AEACcos602，ADAE2，ADB90，BD2；（2）延长FD至F，使DFDF，延长BC至B使CBCB，连接FB、AB、AF，DFDF，CBCB，ADFACB90，AFAF，ABAB，CABDAF60，BABFAF120，BAB+FABFAF+FAB，即BAFBAF，ABFABF（SAS），BFBF，C、M分别是BB、FB的中点，
18、BF2CM，AC2AE，AF2AD，ADAE，ACAF，AFAF，FAF120，FFAFAC，BF+ACBF+FFBFBF2CM，即2CMBF+AC；（3）延长FD至F，使FDFDD、M分别为FF、FB中点，DMFB且DMFB，当F在线段AB上时，FB最小（如右图3），此时D在线段AC上，此时DM最小FB42AD，过点M作MPAC，交AB于点P，连接DP，DN，MPAD，APDM，ADDM2，四边形ADMP是菱形，CAB60，DMP是等边三角形，MPN60，MN绕点M旋转60，MNN是等边三角形，DMNPMN（SSS），MDNMPN60PDM，即N运动轨迹在DP上，以DN为斜边作等腰直角三角形ODN，则ONDN，（2MNDN）2（MNDN）2（MNON），MNONMO，当NOM 三点共线时MNON最小为OM，NDM60，NDO45，ODM15，作GMDGDM15，则MGD30，设OMx，OGx，GMDG2x，DO2x+x，DO2+MO2DM2，（2x+x）2+x222，解得x，（2MNDN）最小值2OM【点睛】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形，直角三角形和等边三角形是解题的关键
