1、第2课时指数函数的图象与性质的应用学 习 目 标核 心 素 养1.能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题(重点、难点)2.能应用指数函数及其性质解决实际应用题(难点)通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养.指数函数形如ykax(kR，且k0，a0且a1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则yN(1p)x(xN)某人于今年元旦到银行存款a万元，银行利率为月息p，则该人9月1日取款时，连本带利共可以取出金额为_a(1p)8一个月后a(1p)，二个月后a(1p)(
2、1p)a(1p)2，9月1日取款时共存款8个月，则本利和为a(1p)8.求函数的定义域、值域【例1】求下列函数的定义域和值域：(1)y2；(2)y；(3)y.思路点拨：使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域解(1)由x40，得x4，故y2的定义域为x|x4又0，即21，故y2的值域为y|y0，且y1(2)由12x0，得2x1，x0，y的定义域为(，0由02x1，得12x0，012x0，故函数y的值域为(0,161对于yaf(x)这类函数(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围(2)值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出u
3、f(x)的值域；利用指数函数yau的单调性或利用图象求得函数的值域2对于ym(ax)2n(ax)p(m0)这类函数值域问题利用换元法，借助二次函数求解1(1)函数f(x)的定义域为_(2)求函数y4x21x1在x3,2上的最大值和最小值(3,0(1)由得30，且a1)的图象和性质a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1单调性是R上的增函数是R上的减函数【例3】已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围；(3)求f(x)在1,2上的值域思路点拨：(1)根据奇函数的定义，求出a，b.(2)利
4、用单调性和奇偶性去掉f 解不等式求k的范围(3)利用(2)中单调性求f(x)的值域解(1)函数yf(x)是定义域R上的奇函数，b1，a2.(2)由(1)知f(x)，设x1，x2R且x1x2，则f(x2)f(x1)0，f(x)在定义域R上为减函数，由f(t22t)f(2t2k)0恒成立，可得f(t22t)k2t2，3t22tk0恒成立，(2)212k0，解得k0，函数f(x)是定义域为R的偶函数(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)在(0，)上是增函数解(1)由f(x)f(x)得，即4x0，所以0，根据题意，可得a0，又a0，所以a1.(2)由(1)可知f(x)4x，设任意的x1，x2(0，)
5、，且x1x2，则f(x1)f(x2)44(44).因为0x1x2，所以44，所以440，所以4 1，所以10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)于是知f(x)在(0，)上是增函数.复合函数的单调性探究问题1y2x的单调性如何？yx1呢？y2x1呢？提示y2x在R上单调递增，yx1在R上单调递增，y2x1在R上单调递增2y与y的单调性分别如何？提示y单调递减，y单调递减3yx与y2x的单调性如何？提示yx单调递减，y2x单调递减4由以上3个探究，我们可以对由yf(u)，ug(x)复合而成的函数yf(g(x)的单调性做出什么猜想提示yf(g(x)可以由yf(u)，ug(x)复合而成
6、，复合而成的函数单调性与yf(u)，ug(x)各自单调的关系为“同增异减”即f 与g单调性相同，复合后单调递增，f 与g单调性不同，复合后单调递减5用单调性的定义证明：当yf(u)，ug(x)均单调递减时yf(g(x)单调递增提示任取x1，x2D且x1g(x2)，即u1u2，又f(x)单调递减，f(u1)f(u2)，即f(g(x1)f(g(x2)，yf(g(x)单调递增【例4】判断f(x)的单调性，并求其值域思路点拨：先确定ux22x的值域、单调性，再确定f(x)的单调性和值域解令ux22x，则原函数变为y.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又y在(，)上递减，y在(，1上
7、递增，在1，)上递减ux22x(x1)211，y，u1，)，03，原函数的值域为(0,31(变条件)本例中“xR”变为“x1,2”判断f(x)的单调性，并求其值域解由本例解析知，又x1,2，f(x)(x1,2)在1,1上是增函数，在(1,2上是减函数ux22x(x1,2)的最小值、最大值分别为umin1，umax3，f(x)的最大值、最小值分别为f(1)3，f(1).函数f(x)的值域为.2(变设问)在本例条件下，解不等式f(x)f(1)解f(x)f(1)，即1，(x1)20，x1，不等式的解集为x|x11关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)，它由两个函数yau，uf(x)复合而成其单调
8、性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性2求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性，其规则是“同增异减”1比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数型函数yax的单调性(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则amc且cbn，则ambn.2指数型函数单调性的应用(1)形如yaf(x)的单调性：令uf(x)，xm，n，如果两个函数yau与uf(x)的单调性相同，则函数yaf(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调
9、性相异(即一增一减)，则函数yaf(x)在m，n上是减函数(2)形如axay的不等式，当a1时，axayxy；当0aayxy.1函数f(x)的定义域为()A(5,0)B5,0)C(5,0D5,0C令5x0.2函数f(x)1，x1,2的值域为_x1,2时，f(x).3函数y3的单调递减区间是_0，)令y3u，u22x2，因为y3u在R上单调递增，u22x2在0，)上单调递减，所以y3的单调递减区间是0，)4设0x2，y432x5，试求该函数的最值解令t2x，0x2，1t4.则y22x132x5t23t5.又y(t3)2，t1,4，y(t3)2在1,3上是减函数，在t3,4上是增函数，当t3时，ymin；当t1时，ymax.故函数的最大值为，最小值为.
