1、二十二简单线性规划 (20分钟35分)1.若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域内,则2x-y的最小值为()A.-6B.-2C.0D.2【解析】选A.如图,曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示,令z=2x-y,则y=2x-z,作直线y=2x,在封闭区域内平行移动直线y=2x,当经过点A(-2,2)时,z取得最小值,此时z=2(-2)-2=-6.【补偿训练】 (2020南宁高一检测)若x,y满足|y|2-x且|x|1,则2x+y的最小值为()A.-7B.-5C.1D.4【解析】选B.作出x,y满足|y|2-x,且|x|1,对应的平面区域如图,由z=
2、2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线的截距最小,此时z最小,由解得A(-1,-3),此时z=2(-1)+(-3)=-5,则2x+y的最小值为-5.2.(2020西安高一检测)若变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x-y的最小值是()A.-3B.0C.D.【解析】选A.由约束条件作出可行域如图,化目标函数z=2x-y为y=2x-z,由图可知,当直线y=2x-z经过A(0,3)时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为-3.3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则a的值为
3、()A.-3B.3C.-1D.1【解析】选A.-=,即a=-3.4.(2020全国卷)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.【解析】不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界),因为z=3x+2y,所以y=-+,易知截距越大,则z越大,平移直线y=-,当y=-+经过A点时截距最大,此时z最大,由,得,A(1,2),所以zmax=31+22=7.答案:75.若变量x,y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是.【解析】画出可行域,如图所示.由图可知,当目标函数过A点时有最大值;过B点时有最小值.联立得方程组故A(4,4);对x+y=8,令y=0,则x=8,故
4、B(8,0),所以a=54-4=16,b=50-8=-8,则a-b=16-(-8)=24.答案:246.已知x,y满足约束条件(1)求目标函数z=2x+y的最大值和最小值;(2)求z=的取值范围.【解析】作出可行域如图所示.(1)作直线l:2x+y=0,并平移此直线,当平移直线过可行域内的A点时,z取最小值;当平移直线过可行域内的B点时,z取得最大值.解得A.解得B(5,3).所以zmax=25+3=13,zmin=21+=.(2)z=,可看作区域内的点(x,y)与点D(-5,-5)连线的斜率,由图可知,kBDzkCD.又B(5,3),C,所以kBD=,kCD=,所以z=的取值范围是.(30分
5、钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020石家庄高一检测)若x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值为()A.10B.8C.5D.3【解析】选D.由约束条件作出可行域如图,化目标函数z=x+2y为直线方程的斜截式,y=-x+,由图可知,当直线y=-x+过A(3,0)时,直线在y轴上的截距最大,z最大值为3.2.(2020绵阳高一检测)已知实数x,y满足条件+2,则2x+y的最大值为()A.3B.5C.6D.7【解析】选D.实数x,y满足条件+2,如图所示,所以在A处2x+y的取最大值为7.3.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐
6、标为(,1),则z=的最大值为()A.3B.4C.3D.4【解析】选B.由线性约束条件画出可行域如图阴影部分(含边界)所示,目标函数z=x+y,将其化为y=-x+z,结合图形可知,当目标函数的图像过点(,2)时,z最大,将点(,2)代入z=x+y,得z的最大值为4.4.(2020成都高一检测)已知EF为圆(x-1)2+(y+1)2=1的一条直径,点M(x,y)的坐标满足不等式组则的取值范围为()A.B.4,13C.4,12D.【解析】选D.不等式组作出可行域如图,A(-2,1),B(0,1),C,因为D(1,-1),O(0,0),M(x,y),=-,所以=(-)(-)=+-=-+=-1=(x-
7、1)2+(y+1)2-1,所以当x=-2,y=1时,取最大值为12,当x=-,y=时,取最小值,所以的取值范围是.【误区警示】对进行转化是本题的易错点.5.(2020太原高一检测)设x,y满足不等式组且的最大值为,则实数a的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.作出不等式组对应的平面区域如图:可知a-2,的几何意义是可行域内的点与Q(-4,0)连线的斜率,直线x+y-2=0与直线y=x+a的交点为A,当x=1-,y=1+时,的最大值为,解得a=2,所以实数a的值为2.【光速解题】本题可直接将选项中的值代入求解.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020成都高一检测)已知实数x,y
8、满足不等式组若当且仅当x=1,y=3时,y-ax取得最大值,则实数a的取值范围是.【解题指南】由题意作出其平面区域,将z=y-ax化为y=ax+z,z相当于直线y=ax+z的纵截距,由几何意义可得.【解析】由题意作出其平面区域,将z=y-ax化为y=ax+z,z相当于直线y=ax+z的纵截距,则由图可知,当且仅当x=1,y=3时y-ax取得最大值就是目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解是B(1,3),则a1.答案:(1,+)【补偿训练】 (2020咸阳高一检测)已知实数x,y满足,若z=x+my的最大值为10,则m=.【解析】作出可行域,如图,ABC内部(含边界),其中A(2,4),B
9、(2,1),C(-1,1),若A是最优解,则2+4m=10,m=2,检验符合题意;若B是最优解,则2+m=10,m=8,检验不符合题意,若m=8,则z最大值为34;若C是最优解,则-1+m=10,m=11,检验不符合题意;所以m=2.答案:27.已知约束条件若目标函数z=x+ay(a0)恰好在点(2,2)处取得最大值,则a的取值范围为.【解析】如图,线性约束条件对应的可行域为图中的三角形区域ABC.线性目标函数z=x+ay(a0)化为y=-x+,当z最大时,最大,根据图形只要-kAB=-3,所以a.答案:8.实数x,y满足不等式组则W=的取值范围是.【解析】画出题中不等式组所表示的可行域如图所
10、示,目标函数W=表示阴影部分的点与定点A(-1,1)的连线的斜率,由图可知点A(-1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值,最大值趋近于1,但永远达不到1,故-W1.答案:-,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020渭南高一检测)若x,y满足条件(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)求点(x,y)到直线y=-x-2的距离的最大值.【解析】(1)根据条件,作出可行域如图,则直线x+y=1,-x+y=1,2x-y=2的交点分别为A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移直线x-y+=0,由图形可知过点A时,z取得最小值zmin=3-4+=-2;过点C时,z取得最大值zmax=
11、+=1.故z的最大值为1,最小值为-2.(2)由图形可知,所求的最大值即点A到直线x+y+2=0的距离,则d=.10.已知x,y满足条件求:(1)4x-3y的最大值和最小值;(2)x2+y2的最大值和最小值.【解析】(1)不等式组表示的公共区域如图阴影所示:其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2),设z=4x-3y.直线4x-3y=0经过原点(0,0).作一组与4x-3y=0平行的直线l:4x-3y=t.则当l过C点时,t值最小;当l过B点时,t值最大.因为zmax=4(-1)-3(-6)=14,zmin=4(-3)-32=-18.故4x-3y的最大值为14,最小值为-18.(2)设
12、u=x2+y2,则为点(x,y)到原点(0,0)的距离.结合不等式组所表示的区域,不难知道:点B到原点的距离最大;而当(x,y)在原点时,距离为0.因为umax=(-1)2+(-6)2=37,umin=0,所以x2+y2的最大值为37,最小值为0.1.太极图被称为“中华第一图”,从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫等标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组来表示A=,设点(x,y)A,则z=x+y的取值范围是()A.B.C.D.【解答】选C.由题意可知:z=x+y与x2+(y-1
13、)2=1相切时,切点在上方时取得最大值,如图可得,1,解得1-z1+,z=x+y的最大值为1+.当下移与圆x2+y2=4相切时,z=x+y取最小值,同理=2,即z的最小值为-2,所以z.2.已知实数x,y满足条件若目标函数z=x+ay仅在点(0,1)处取得最小值,求a的取值范围.【解析】由x,y满足约束条件作出可行域,如图阴影部分.当a=0时,z=x,z值仅在点B(0,1)处取得最小值;当a0时,由z=x+ay得直线族y=-x+.当直线斜率01,即-1a0时,z值仅在点B(0,1)处取得最小值;当直线斜率-1-1时,z值不在点B(0,1)处取得最小值;当直线斜率-=-1,即a=1时,z值在点B(0,1),A(1,0)之间任意一点处取得最小值;当直线斜率-1,即0a1时,z值仅在点B(0,1)处取得最小值.综上所述,实数a的取值范围是(-1,1).
