1、2016-2017学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1sin72cos18+cos72sin18的值为（）A1BCD2在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2b2=ac，则角B的值为（）ABC或D或3要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）A向左平移1个单位B向右平移1个单位C向左平移个单位D向右平移个单位4设向量=（cos，）的模为，则cos2=（）ABCD5设向量=（1，2），=（m，1），如果向量与2平行，那么与的数
2、量积等于（）ABCD6等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log357已知函数f（x）=xa的图象过点（4，2），令（nN*），记数列an的前n项和为Sn，则S2017=（）ABCD8如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是，（），则A点离地面的高度AB等于（）ABCD9莱因德纸草书（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A
3、BCD10在ABC中，如果有性质acosA=bcosB，这个三角形的形状是（）A等边三角形B等腰三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形11在等差数列an中，其前n项和是Sn，若S150，S160，则在，中最大的是（）ABCD12在ABC中，边AC长为，|+|=2，D是BC边上的点，且=2， =0，则cosBAC=（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则an=14等差数列an的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为15已知ABC的一内角为120，并且三边长构成公差为2的等差数列，则ABC的面积
4、为16如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为，则最小正方形的边长为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数的最大值为1（1）求常数a的值；（2）求使f（x）=0成立的x的取值集合18在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值19一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行（22）nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15的方向航行4nmi
5、le到达海岛C（1）求AC的长；（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求CAB的大小？20Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，lg99=1（）求b1，b11，b101；（）求数列bn的前1000项和21已知首项都是1的两个数列an，bn满足anbn+1an+1bn2an+1an=0（1）令，求证数列cn为等差数列；（2）若，求数列bn的前n项和Sn22已知数列an中，a2=2，前n项和为（I）证明数列an+1an是等差数列，并求出数列an的通项公式；（II）设，数列bn的前n项和为Tn，求使不等式对一切nN*都成立
6、的最大正整数k的值2016-2017学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1sin72cos18+cos72sin18的值为（）A1BCD【考点】GQ：两角和与差的正弦函数【分析】根据正弦的和与差的公式可得答案【解答】解：由sin72cos18+cos72sin18=sin（72+18）=sin90=1故选：A2在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2b2=ac，则角B的值为（）ABC或D或【考点】HS：余弦定理的应用【分析】通过余弦定理求出
7、cosB的值，进而求出B【解答】解：，根据余弦定理得cosB=，即，又在中所以B为故选A3要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）A向左平移1个单位B向右平移1个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】化简函数y=cos（2x+1），然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可【解答】解：因为函数y=cos（2x+1）=cos2（x+），所以要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x 的图象向左平移个单位故选C4设向量=（cos，）的模为，则cos2=（）ABCD【考点】GT：二倍角的
8、余弦；93：向量的模【分析】根据向量的模长公式计算出cos2，在利用二倍角公式计算cos2【解答】解：|=，cos2=cos2=2cos21=故选：D5设向量=（1，2），=（m，1），如果向量与2平行，那么与的数量积等于（）ABCD【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】由已知向量的坐标求出向量与2的坐标，再由向量与2平行列式求出m的值，则与的数量积可求【解答】解：向量=（1，2），=（m，1），=（1，2）+2（m，1）=（2m1，4），2=2（1，2）（m，1）=（2m，3）由向量与2平行，得3（2m1）4（2m）=0，解得：=（，1），故选：D6等比数列an的各项均为正数，
9、且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log35【考点】8G：等比数列的性质；4H：对数的运算性质【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5答案可得【解答】解：a5a6=a4a7，a5a6+a4a7=2a5a6=18a5a6=9log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B7已知函数f（x）=xa的图象过点（4，2），令（nN*），记数
10、列an的前n项和为Sn，则S2017=（）ABCD【考点】8E：数列的求和；49：指数函数的图象与性质【分析】由代入法，可得a的值，求得=，再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和【解答】解：函数f（x）=xa的图象过点（4，2），可得4a=2，解得a=，f（x）=x，则=，则S2017=1+=1故选：B8如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是，（），则A点离地面的高度AB等于（）ABCD【考点】HU：解三角形的实际应用【分析】设AB=x，在直角三角形ABC中表示出BC，进而求得BD，同时在RtABD中，可用x和表示出BD，二者相等求得x，即AB【
11、解答】解：设AB=x，则在RtABC中，CB=BD=a+在RtABD中，BD=a+=，求得x=故选A9莱因德纸草书（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）ABCD【考点】84：等差数列的通项公式【分析】设五个人所分得的面包为a2d，ad，a，a+d，a+2d（d0），根据条件列出方程求出a和d的值，从而得最小一份的值【解答】解：设五个人所分得的面包为a2d，ad，a，a+d，a+2d，（其中d0）；把100个面包分给5个人，（a2d）+（ad）+a+（
12、a+d）+（a+2d）=5a=100，得a=20，使较大的三份之和的是较小的两份之和，（a+a+d+a+2d）=a2d+ad，得3a+3d=7（2a3d），化简得24d=11a，d=，所以最小的1分为a2d=202=，故选：A10在ABC中，如果有性质acosA=bcosB，这个三角形的形状是（）A等边三角形B等腰三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断【分析】利用余弦定理代入化简即可得出【解答】解：acosA=bcosB，a=b，化为：（a2+b2c2）（a+b）（ab）=0，解得a=b，或a2+b2=c2该三角形是等腰或直角三角形故选：C11在等差数列a
13、n中，其前n项和是Sn，若S150，S160，则在，中最大的是（）ABCD【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和【分析】由题意知a80，a90由此可知0，0，0，0，0，0，所以在，中最大的是【解答】解：由于S15=15a80，S16=8（a8+a9）0，所以可得a80，a90这样0，0，0，0，0，0，而S1S2S8，a1a2a8，所以在，中最大的是故选B12在ABC中，边AC长为，|+|=2，D是BC边上的点，且=2， =0，则cosBAC=（）ABCD【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】ABC中，设E为边AB的中点，由，可得CE=D是BC边上的点，且，可得ADBC设
14、DC=x，则BD=2x设AE=EB=y，由中线长定理可得： +（3x）2=2y2+2，由勾股定理可得：4y24x2=，联立解出，再利用余弦定理即可得出【解答】解：ABC中，设E为边AB的中点，CE=D是BC边上的点，且，ADBC设DC=x，则BD=2x设AE=EB=y，由中线长定理可得： +（3x）2=2y2+2，化为9x22y2=5由勾股定理可得：4y24x2=，化为：3x2+5=4y2联立解得：x=1，y=AB=2，BC=3则cosBAC=故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则an=24n【考点】88：等比数列
15、的通项公式【分析】由等比数列性质列出方程组，求出a1=8，q=，由此能求出an【解答】解：等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，解得，an=8（）n1=24n故答案是：24n14等差数列an的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为60【考点】85：等差数列的前n项和【分析】根据题意和等差数列的前n项和性质得，30、S2m30、90S2m成等差数列，由等差中项的性质列出方程，再求出它的前2m项和的值【解答】解：设Sn是等差数列an的前n项和，所以Sm、S2mSm、S3mS2m成等差数列，即30、S2m30、90S2m成等差数列，所以2（S2m30）=30+90S2m，解
16、得S2m=60，故答案为：6015已知ABC的一内角为120，并且三边长构成公差为2的等差数列，则ABC的面积为【考点】%H：三角形的面积公式；84：等差数列的通项公式【分析】因为三角形三边构成公差为2的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+2，最小的边为x2，根据余弦定理表示出cos120的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：设三角形的三边分别为x2，x，x+2，则cos120=，解得x=5，所以三角形的三边分别为：3，5，7则ABC的面积S=35sin120=故答案为：16如图
17、所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为，则最小正方形的边长为【考点】8B：数列的应用【分析】正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+2n1=1023，n=10最小正方形的边长为故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过
18、程或演算步骤.）17已知函数的最大值为1（1）求常数a的值；（2）求使f（x）=0成立的x的取值集合【考点】HW：三角函数的最值【分析】（1）利用两角和的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域求得a的值（2）由题意求得sin（x+）=，可得x+=k+，或x+=2k+，kZ，由此求得x的取值集合【解答】解：（1）函数=sinxcos+cosxsin+sinxcoscosxsin+cosx+a=2sinxcos+cosx+a=sinx+cosx+a=2sin（x+）+a的最大值为2+a=1，a=1（2）由f（x）=0成立，可得2sin（x+）1=0，即sin（x+）=，x+=2k+，或x+
19、=2k+，kZ，即x=2k，或x=2k+，kZ故x的取值的集合为x|x=2k，或x=2k+，kZ18在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值【考点】HX：解三角形【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算【解答】解：（1）asin2B=bsinA，2sinAsinBcosB=sinBsinA，cosB=，B=（2）cosA=，sinA=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=19一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行（22
20、）nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15的方向航行4nmile到达海岛C（1）求AC的长；（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求CAB的大小？【考点】HU：解三角形的实际应用【分析】由题意，结合图形知，在ABC中，ABC=120，AB=22，BC=4，故可由余弦定理求出边AC的长度，由于此时在ABC中，ABC=120，三边长度已知，故可由正弦定理建立方程，求出CAB的正弦值，即可得出结论【解答】解：由题意，在ABC中，ABC=18075+15=120，AB=22，BC=4，根据余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=（22）2+42+（22）4=24，所以AC=2根
21、据正弦定理得，sinBAC=，CAB=4520Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，lg99=1（）求b1，b11，b101；（）求数列bn的前1000项和【考点】8E：数列的求和；8F：等差数列的性质【分析】（）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（）找出数列的规律，然后求数列bn的前1000项和【解答】解：（）Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28可得a4=4，则公差d=1an=n，bn=lgn，则b1=lg1=0，b11=lg11=1，b10
22、1=lg101=2（）由（）可知：b1=b2=b3=b9=0，b10=b11=b12=b99=1b100=b101=b102=b103=b999=2，b10，00=3数列bn的前1000项和为：90+901+9002+3=189321已知首项都是1的两个数列an，bn满足anbn+1an+1bn2an+1an=0（1）令，求证数列cn为等差数列；（2）若，求数列bn的前n项和Sn【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式【分析】（1）由anbn+1an+1bn2bn+1bn=0，cn=，可得数列cn是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列cn的通项公式；（2）用错位相减法来求和【解
23、答】解：（1）anbn+1an+1bn2bn+1bn=0，cn=，cn+1cn=2，首项是1的两个数列an，bn，数列cn是以1为首项，2为公差的等差数列，cn=2n1；（2）bn=3n1，cn，an=（2n1）3n1，Sn=130+331+（2n1）3n1，3Sn=13+332+（2n1）3n，2Sn=1+2（31+3n1）（2n1）3n，Sn=（n1）3n+122已知数列an中，a2=2，前n项和为（I）证明数列an+1an是等差数列，并求出数列an的通项公式；（II）设，数列bn的前n项和为Tn，求使不等式对一切nN*都成立的最大正整数k的值【考点】8K：数列与不等式的综合；84：等差数
24、列的通项公式；8C：等差关系的确定；8E：数列的求和【分析】（I）由题意，当a2=2，则a2a1=1当，由此入手能够导出数列an+1an是首项为1，公差为0的等差数列，从而能够求出an（II），所以， =由此能够求出使不等式对一切nN*都成立的最大正整数k的值【解答】解：（I）由题意，当a2=2，则a2a1=1当，则，则（n1）an+12（n1）an+（n1）an1=0，即an+12an+an1=0，即an+1an=anan1则数列an+1an是首项为1，公差为0的等差数列从而anan1=1，则数列an是首项为1，公差为1的等差数列所以，an=n（nN*）（II）所以，=由于因此Tn单调递增，故Tn的最小值为令，所以k的最大值为182017年5月25日
