1、课时作业18数学归纳法时间：45分钟基础巩固类一、选择题1用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)时，第一步验证n1时，左边应取的项是(D)A1 B12C123 D1234解析：观察发现应选D.2用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为(C)A1 B2C3 D4解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n03.3某个与正整数有关的命题：如果当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立现已知n5时命题不成立，那么可以推得(A)A当n4时命题不成立B当n6时命题不成立C当n4时命题成立D当n6时命题成立解析：因为当nk(kN*)时命题成立，则可以推
2、出当nk1时该命题也成立，所以假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n4时命题不成立4在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于(C)A1 B2C3 D0解析：凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.5数列an中的an，则an1的表达式是(B)Aan1anBan1anCan1anDan1an解析：当nk时，左边的第一项为，当nk1时，左边的第一项为，所以左边加上的同时，还要减去.故选B.6用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”从“k到k1”左端需增乘的代数式为(B)A2k1 B2(2k1)C. D.解析：当n
3、k时左端的第一项为(k1)，最后一项为(kk)，当nk1时，左端的第一项为(k2)，最后一项为(2k2)，左边乘以(2k1)(2k2)同时还要除以(k1)故选B.7已知数列an的前n项之和为Sn，且Sn2nan(nN*)，若已经算出a11，a2，则猜想an等于(D)A. B.C. D.解析：a11，a2，又S31a36a3，a3.同理，可求a4，观察1，猜想an.8用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开(A)A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)
4、3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可二、填空题9用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)第一步应验证n3.解析：n最小值为3，所以第一步验证n3是否成立10用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2.解析：当nk1时，应将表达式为1427k(3k1)k(k1)2中的k更换为k1.11用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为25(34k
5、252k1)5634k2.解析：当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k252k1)5634k2.三、解答题12用数学归纳法证明：(1)(1)(1)(1)(nN)证明：(1)当n1时，左边1，右边，等式成立(2)假设nk(k1，kN)成立，即(1)(1)(1)(1)，当nk1时，两边同乘以1，得(1)(1)(1)(1)(1)(1)，当nk1时等式成立由(1)(2)可知，对于nN等式都成立13已知x1，且x0，nN*，且n2.求证：(1x)n1nx.证明：(1)当n2时，左边(1x)212xx2，右边12x.x20，原不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)
6、时不等式成立，即(1x)k1kx.当nk1时，x1，1x0.于是左边(1x)k1(1x)k(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx2，右边1(k1)x，kx20，左边右边，即(1x)k11(k1)x.这就是说，原不等式当nk1时也成立根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的正整数都成立能力提升类14证明：假设当nk(kN)时等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时等式也成立因此对于任何nN等式都成立以上用数学归纳法证明“242nn2n(nN)”的过程中的错误为缺少步骤归纳奠基15由下列不等式：1，11,1，12，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明解：根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：1(nN*)用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，1，猜想成立；(2)假设当nk时，猜想成立，即1，则当nk1时，1，即当nk1时，猜想也正确，所以对任意的nN*，不等式成立
