1、中数学选择性必修第三册第六章 计数原理1）.分类加法计数原理与分步乘法计数原理1分类加法计数原理完成件事有 n 类不同的案，在第类案中有 m1 种不同的法，在第类案中有 m2 种不同的法，在第 n 类案中有 mn 种不同的法，则完成这件事情，共有 N_种不同的法2分步乘法计数原理完成件事情需要 n 个不同的步骤，完成第步有 m1 种不同的法，完成第步有 m2 种不同的法，完成第 n 步有 mn 种不同的法，那么完成这件事情共有 N_种不同的法3两个计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成件事情的不同法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种法相互独，其中的任种
2、法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成2）、排列1 定义(1)从 n 个不同元素中取出 m 个元素，按照定的顺序排成列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列。(2)从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记为 Amn.2 排列数的公式与性质(1)排列数的公式：Amn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)特例：当 m=n 时，Amn=n!=n(n-1)(n-2)321规定：0!=13）、组合1 定义(1)从 n 个不同元素中取出 m 个元素并成组，叫做从 n
3、个不同元素中取出 m 个元素的个组合(2)从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，符号 Cmn 表示。2 较与鉴别由排列与组合的定义知，获得个排列需要“取出元素”和“对取出元素按定顺序排成列”两个过程，获得个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成组这个步骤。排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，排列不仅与选取的元素有关，且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这问题是排列问题还是组合问题的理论依据。4）.排列组合与项式定理知识点1.计数原理知识点乘法原理：N=n1n2n3nM(分步)加法原
4、理：N=n1+n2+n3+nM(分类)2.排列(有序)与组合(序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann=n!Cnm=n!/(n-m)!m!Cnm=Cnn-mCnm+Cnm+1=Cn+1m+1 kk!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题法：优先法：以元素为主，应先满特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在起的元素视为个整体考虑)插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等在求解排列与组合应问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归
5、结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题条件，避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式计算和作答.经常运的数学思想是：分类讨论思想;转化思想;对称思想.4.项式定理知识点：(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+Cnran-rbr+Cn n-1abn-1+Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+Cnrxr+Cnnxn主要性质和主要结论：对称性 Cnm=Cnn-m最项式系数在中间。(要注意 n 为奇数还是偶数，答案是中间项还是中间两项)所有项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+
6、Cnr+Cnn=2n奇数项项式系数的和=偶数项是系数的和Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+=2n-1通项为第 r+1 项：Tr+1=Cnran-rbr 作：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。5.项式定理的应：解决有关近似计算、整除问题，运项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。6.注意项式系数与项的系数(字项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数)的区别，在求某项的系数的和时注意赋值法的应。5）.项式定理知识点定理内容基本概念项式展开式：等式右边的多项式叫作(a+b)n 的项展开式项式系数：展开式中各项的系数中的项数：展
7、开式第 r+1 项，是关于 a,b 的次多项式.通项：展开式的第r+1项，记作个提醒项数：展开式共有 n+1 项.顺序：注意正确选择 a 与 b，其顺序不能更改，即：(a+b)n 和(b+a)n 是不同的.指数：a 的指数从 n 到 0,降幂排列；b 的指数从 0 到 n,升幂排列。各项中 a，b 的指数之和始终为 n.系数：正确区分项式系数与项的系数：项式系数指各项前的组合数；项的系数指各项中除去变量的部分（含项式系数）。通项：通项是指展开式的第 r+1 项.常结论个性质项式系数对称性：展开式中，与末两项等距的任意两项项式系数相等。项式系数最值：展开式的项式系数中，最中间那项（或最中间两项）
8、的项式系数最。即：项式系数和：项展开式中，所有项式系数和等于，即：奇数项项式系数和等于偶数项项式系数和，即：（注：凡系数和问题均赋值法处理）杨辉三中的项式系数：第七章 随机变量及其分布随机变量：随 着 试 验 结 果 变 化 变 化 的 变 量 称 为 随 机 变 量随 机 变 量 常 字 X，Y，等 字 表 示随 机 变 量 跟 函 数 之 间 的 关 系：随 机 变 量 跟 函 数 都 是 种 映 射，随 机 变 量 把 随 机 试 验 的 结 果 映 射 为 实 数，函 数 把 实 数 映 射 为 实 数。试 验 结 果 的 范 围 相 当 于 函 数 的 定 义 域，随 机 变量 的
9、取 值 范 围 相 当 于 函 数 的 值 域。把 随 机 变 量 的 取 值 范 围 叫 做 随 机 变 量的 值 域。离 散 性 随 机 变 量：所 有 取 值 可 以 列 出 的 随 机 变 量，称 为 离 散 性 的 随 机 变 量。某 射 击 次 命 中 的 环 数 X 是 个 离 散 型 随 机 变 量，它 的 所 有 可 能 取 值为 0，1，2 ，10，这 就 是 个 离 散 型 随 机 变 量 的 例 。分 布 列：般 地，若 离 散 型 随 机 变 量 X 可 能 取 的 不 同 值 为：x 1，x 2，x i，x nX 取 每 个 值 x i(i=1，2，n)的 概 率
10、P(X=x i)=p i，以 表 格 的 形 式 表 示如 下：上 表 称 为 离 散 性 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 列，简 称 为 X 的 分 布 列。有 时 候为 了 表 达 简 单，也 如 下 等 式：P(X=x i)=p i，(i=1，2，n)，表 示 X 的 分 布 列离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 性 质：p i 0，i=1，2，n；p 1+p 2+p n=1.两 点 分 布：如 果 随 机 变 量 X 的 分 布 列 是 如 下 形 式：称 为 X 的 分 布 列 为 两 点 分 布 列，则 随 机 变 量 X 服 从 两 点 分 布，称p=P(X=1)为
11、成 功 概 率。练 习：个 袋 中 有 形 状 完 全 相 同 的 3 个 球 和 4 个 红 球，从 中 任 意摸 出 球，0 表 示 摸 出 球，1 表 示 摸 出 红 球，求 X 的 分 布 列。超 何 分 布：般 地，在 含 有 M 件 次 品 的 N 件 产 品 中，任 取 n 件，其 中 恰 有 X 件 次 品数，则 事 件 X=k发 的 概 率 为：其 中 m=minM，n，且 n N，M N，n，M，N N*，称 分 布 列为 超 何 分 布。如 果 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 超 何 分 布，则 称 随 机 变 量X 服 从 超 何 分 布。备 注：超 何 分 布
12、 为 不 放 回 的 抽 取 随 机 变 量 X 服 从 超 何 分 布，般 表 示 为：XH(n，M，N)，其 中 M表 示 次 品 总 数，N 表 示 产 品 总 数，n 表 示 抽 取 数 量。例 题：在 某 年 级 的 联 欢 会 上 涉 及 个 摸 奖 游 戏，在 个 袋 中 装 有 10 个红 球 和 20 个 球，这 些 球 除 了 颜 外 完 全 相 同。次 从 中 摸 出 5 个 球，少 摸 到 三 个 红 球 就 中 奖。求 中 奖 的 概 率。解：设 摸 出 红 球 的 个 数 位 X，则 X 服 从 超 何 分 布，其 中 N=30，M=10，n=5，于 是 中 奖 的
13、 概 率：变 式：在 10 件 产 品 中 有 2 件 次 品，连 续 抽 3 次，每 次 抽 1 件，如 果 是 不放 回 取 样，求 抽 到 次 品 数 X 的 分 布 列。项分布条 件 概 率：般 地，设 A，B 为 两 个 事 件，且 P(A)0，称为 在 事 件 A 发 的 条 件 下，事 件 B 发 的 条 件 概 率。P(BA)读 作 A 发 的 条 件 下 B 发 的 概 率。其 中 P(A)代 表 事 件 A 发 的 概 率，P(AB)代 表 A，B 两 个 事 情 同 时 发 的概 率。条 件 概 率 具 有 概 率 的 性 质，任 何 事 件 的 条 件 概 率 都 在
14、0 和 1 之 间，即：0 P(BA)1如 果 B 和 C 是 两 个 互 斥 事 件，则P(B CA)=P(BA)+P(CA)例 题：在 10 个 形 状 均 相 同 的 球 中 有 6 个 红 球 和 4 个 球，不 放 回 地依 次 摸 出 2 个 球，在 第 1 次 摸 出 红 球 的 条 件 下，第 2 次 也 摸 到 红 球 的 概率 为 多 少？解：设 事 件 A 为 第 1 次 摸 出 红 球，事 件 B 为 第 2 次 摸 到 红 球变 式 1：某 地 区 象 台 统 计，该 地 区 下 概 率 4/15，刮 的 概 率 为 2/5，即 刮 下 的 概 率 为 1/10，则
15、在 下 天 ，刮 的 概 率 为 多 少？变 式 2：某 提 出 个 问 题，甲 先 答，答 对 的 概 率 为 0.4，如 果 甲 答 错，由 答，答 对 的 概 率 为 0.5，则 问 题 由 答 对 的 概 率 为 多 少？变 式 3:100 件 产 品 中 有 5 件 次 品，不 放 回 的 抽 取 2 次，每 次 抽 取 1 件，已 知 第 1 次 抽 取 的 是 次 品，求 第 2 次 抽 取 正 品 的 概 率。相 互 独 事 件：设 A，B 两 个 事 件，如 果 事 件 A 是 否 发 对 事 件 B 发 的 概 率 没 有 影 响，则 称 事 件 A 与 事 件 B 相 互
16、 独 。即 A，B 两 个 事 件 相 互 独 的 充 要 条 件 是 P(AB)=P(A)P(B)般 地，如 果 事 件 A 1，A 2，A n 两 两 相 互 独 ，那 么 这 n 个 事 件 同时 发 的 概 率，等 于 每 个 事 件 发 的 概 率 之 积，即 P(A 1A 2 A n)=P(A 1)P(A 2)P(A n)备 注：互 斥 事 件：指 同 次 试 验 中 的 两 个 事 件 不 可 能 同 时 发 ；相 互 独 事 件：指 在 不 同 试 验 下 的 两 个 事 件 互 不 影 响。练 习：天 预 报，在 元 旦 假 期 甲 地 的 降 概 率 是 0.2，地 的 降
17、 概 率 是0.3，假 定 在 这 段 时 间 内 两 地 是 否 降 相 互 之 间 没 有 影 响，计 算 在 这 段 时间 内：(1)甲、两 地 都 降 的 概 率(2)甲、两 地 都 不 降 的 概 率(3)其 中 少 个 地 降 的 概 率。n 次 独 重 复 试 验：般 地，在 相 同 条 件 下，重 复 做 的 n 次 试 验 称 为 n 次 独 重 复 试 验.“相 同 条 件 下”等 价 于 各 次 试 验 的 结 果 不 会 受 其 他 试 验 的 影 响备 注:独 重 复 试 验 模 型 满 以 下 三 特 征第 ：每 次 试 验 是 在 同 样 条 件 下 进 ；第 ：
18、各 次 试 验 中 的 事 件 是 相 互 独 的；第 三：每 次 试 验 都 只 有 两 种 结 果，即 事 件 要 么 发 ，要 么 不 发 .n 次 独 重 复 试 验 的 公 式：般 地，在 n 次 独 重 复 试 验 中，假 设 事 件 A 发 的 次 数 为 X，在 每 次试 验 中 事 件 A 发 的 概 率 为 p，那 么 在 n 次 独 重 复 试 验 中，事 件 恰 好发 k 次 的 概 率 为：其 中 p 被 称 为 成 功 概 率 项 分 布：般 地，在 n 次 独 重 复 试 验 中，假 设 事 件 A 发 的 次 数 为 X，在 每 次试 验 中 事 件 A 发 的
19、 概 率 为 p，那 么 在 n 次 独 重 复 试 验 中，事 件 恰 好发 k 次 的 概 率 为此 时 称 随 机 变 量 X 服 从 项 分 布，记 作 XB(n，p)，并 称 p 为 成 功 概 率。例 题：某 射 击 次 击 中 标 的 概 率 是 0.6，经 过 3 次 射 击，求 此 击 中 标 次 数 的 分 布 列。解：设 X 为 击 中 标 的 次 数，则 XB(3，0.6)且 X 的 可 能 取 值 为 0，1，2，3变 式 1：甲、两 轮 流 投 篮，每 每 次 投 球，约 定 甲 先 投 且 先 投 中 者获 胜，直 到 有 获 胜 或 每 都 已 投 球 3 次
20、时 投 篮 结 束。设 甲 每 次 投 篮投 中 的 概 率 为 1/3，每 次 投 篮 投 中 的 概 率 为 1/2，且 每 次 投 篮 互 不 影 响。求 投 篮 结 束 时 甲 的 投 篮 次 数 X 的 分 布 列。变 式 2：已 知 个 袋 中 装 有 3 个 红 球 和 两 个 球，从 中 有 放 回 地 连 续 摸三 次，每 次 摸 出 两 个 球，若 两 个 球 颜 不 同 为 中 奖，否 则 不 中 奖，设 三次 摸 球 中 中 奖 的 次 数 为 X，求 X 的 分 布 列。三数学期望和差数 学 期 望：般 地，若 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为：则
21、称 EX=x 1p 1+x 2p 2+x ip i+x np n 为 随 机 变 量 X 的 均 值 或 数 学 期 望，它 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 平。结 论：若 =aX+b，则 E=aEX+b 若 X 服 从 两 点 分 布，则 EX=p 若 X 服 从 项 分 布，即 XB(n，p)，则 EX=np 若 X 服 从 超 何 分 布，即 X H(n，M，N)，则例 题：在 场 娱 乐 晚 会 上，有 5 位 间 歌 (1 5 号)登 台 演 唱，由 现 场数 百 名 观 众 投 票 选 出 最 受 欢 迎 的 歌 ，各 位 观 众 须 彼 此 独 地 在
22、 选 票 上选 3 名 歌 ，其 中 观 众 甲 是 1 号 歌 的 歌 迷，他 必 选 1 号，不 选 2 号，另在 3 5 号 中 随 机 选 2 名，观 众 和 丙 对 5 位 歌 的 演 唱 没 有 偏 爱，因此 在 1 5 号 中 随 机 选 3 名 歌 。(1)求 观 众 甲 选 中 3 号 歌 且 观 众 未 选 中 3 号 歌 的 概 率；(2)X 表 示 3 号 歌 得 到 观 众 甲、丙 的 票 数 之 和，求 X 的 分 布 列 及 数学 期 望。解：(1)设 A 表 示 事 件“观 众 甲 选 中 3 号 歌 ”，B 表 示 事 件“观 众 选 中 3 号歌 ”变 式：
23、已 知 5 台 机 器 中 有 2 台 存 在 故 障，现 需 要 通 过 逐 台 检 测 直 区 分出 2 台 故 障 机 器 为 ，若 检 测 台 机 器 的 费 是 1000 元，则 需 要 检 测 费的 期 望 为 多 少？差：设 离 散 性 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为：则(xi-EX)2 描 述 了 xi(i=1，2，n)相 对 于 均 值 EX 的 偏 离 程 度。DX=(x 1-EX)2+(x 2-EX)2+(x n-EX)2 为 这 些 偏 离 程 度 的 加 权 平 均，刻 画了 随 机 变 量 X 与 其 均 值 EX 的 平 均 偏 离 程 度。则 称 为 D
24、X 为 随 机 变 量 X的 差，其 算 数 平 根 为 随 机 变 量 的 标 准 差，记 X随 机 变 量 的 差 和 标 准 差 都 反 映 了 随 机 变 量 取 值 偏 离 于 均 值 的 平 均 程度。差 或 者 标 准 差 越 ，则 随 机 变 量 偏 离 于 均 值 的 平 均 程 度 越 。结 论：若 =aX+b，则 D=a 2DX 若 X 服 从 两 点 分 布，则 DX=p(1-p)若 X 服 从 项 分 布，即 XB(n，p)，则 DX=np(1-p)例 题：已 知 XB(n，p)，EX=8，DX=1.6，则 n 与 p 的 值 分 别 是 多 少？解：随 机 变 量
25、X 服 从 项 分 布 EX=np=8，DX=np(1-p)=1.6解 得：n=10，p=0.8变 式：如 图 所 示，是 某 城 市 通 过 抽 样 得 到 的 居 某 年 均 量(单 位：吨)的 频 率 分 布 直 图。(1)求 直 图 中 x 的 值；(2)若 将 频 率 视 为 概 率，从 这 个 城 市 随 机 抽 取 3 位 均 为(看 作 有 放 回 的 抽样)，求 均 量 在 3 4 吨 的 居 数 X 的 分 布 列，数 学 期 望 与 差。第章 成对数据的统计分析1两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从左下到右上的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为
26、正相关(2)负相关在散点图中，点散布在从左上到右下的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看致在条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线2回归程(1)最乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平和最的法叫做最乘法(2)回归程：程ybxa是两个具有线性相关关系的变量的组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回归程，其中a，b是待定参数bni1（xi x）（yi y）ni1（xi x）2ni1xiyin x yni1x2inx2a y b x 3回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进统计分析的
27、种常法(2)样本点的中对于组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中(x，y)称为样本点的中(3)相关系数当 r0 时，表明两个变量正相关；当 r0 时，表明两个变量负相关r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间乎不存在线性相关关系通常|r|于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性4独性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量X 和 Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频
28、数列联表(称为 22列联表)为22 列联表y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd构造个随机变量 K2n（adbc）2（ab）（ac）（bd）（cd），其中 nabcd 为样本容量常结论1回归直线必过样本点的中(x，y).2当两个变量的相关系数|r|1 时，两个变量呈函数关系考点 1相关关系的判断判定两个变量正、负相关的法(1)画散点图：点的分布从左下到右上，两个变量正相关；点的分布从左上到右下，两个变量负相关(2)相关系数：r0 时，正相关；r0 时，负相关(3)线性回归直线程中：b0 时，正相关；b0 时，负相关考点 2回归分析线性回归分析求线性回归直线程的步骤(1)散点图
29、或进相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；(2)利公式bni1（xi x）（yi y）ni1（xi x）2ni1xiyin x yni1x2inx2，a y b x 求得回归系数；(3)写出回归直线程如图是某企业 2012 年 2018 年的污净化量(单位：吨)的折线图注：年份代码 17 分别对应年份 20122018.(1)由折线图看出，可线性回归模型拟合 y 和 t 的关系，请相关系数加以说明；(2)建 y 关于 t 的回归程，预测 2021 年该企业的污净化量；(3)请数据说明回归程预报的效果参考数据：y 54，7i1(ti t)(yi y)21，143.74，7i1(yiyi)2
30、94.参考公式：相关系数 rni1（ti t）（yi y）ni1（ti t）2ni1（yi y）2，线性回归程yabt，bni1（ti t）（yi y）ni1（ti t）2，a y b t.反映回归效果的公式为：R21ni1（yiyi）2ni1（yi y）2，其中 R2越接近于 1，表示回归的效果越好考点 3独性检验1.较个分类变量有关联的可能性的法(1)通过计算 K2的判断：K2越，两变量有关联的可能性越(2)通过计算|adbc|的判断：|adbc|越，两变量有关联的可能性越2独性检验的般步骤(1)根据样本数据制成 22 列联表(2)根据公式 K2n（adbc）2（ab）（ac）（bd）（cd）计算 K2的观测值 k.(3)较观测值 k 与临界值的关系，作统计推断
