1、第五节 圆锥曲线的综合应用1.圆锥曲线的统一定义：平面内到_是圆锥曲线，当_时，轨迹是椭圆；当_时，轨迹是双曲线；当_时，轨迹表示抛物线，定点F是圆锥曲线的一个_，定直线l是该圆锥曲线与焦点F同侧的一条_基础梳理l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹一定点F和到一条定直线l(定点F不在定直线0e1 e=1焦点 准线 2.如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)0的解，并且以方程f(x，y)0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程_叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程_的曲线f(x，y)=0 f(x，y)=0 3.求曲线方程的一般步骤有_；求曲线方程的常见方法有_建坐标系、设点、列
2、式、化简、证明(可省略)直译法、定义法、相关点法、待定系数法4.方程组的解与曲线的交点坐标之间具有对应关系，即方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有_；反之，亦成立，这是_思想的应用几个公共点数形结合1.抛物线y210 x的焦点到准线的距离是_基础达标解析：焦点到准线的距离是p=5.5 2.双曲线左支上一点P到左焦点的距离为4，则P点到左准线的距离为_ 解析：设P点到左准线的距离为d，应用圆锥曲线的统一定义得=e=2，解得d=2.4d22213yx 3.(选修21P52练习1改编)点P到直线l：2xy1的距离与到点F(1,1)的距离之比为m，若点P的轨迹是椭圆，则实数m的取值范围是_(1，+)
3、解析：由圆锥曲线的统一定义知e=(0,1)，解得m1.1m1m4.(选修21P62练习2改编)曲线与曲线x2y2r2(r0)有两个公共点，则r的值为_解析：当r=a或r=b时恰有2个公共点，即r=或2.322143xy32或5.设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是_24x解析：设P(x0，y0)，M(x，y)，x=，y=，2x=x0,2y=y0，-4y2=1，即x2-4y2=1.02x02y244xx2-4y2=1【例1】已知定点A(2，)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使AM2MF取得最小值，并求此时M点的坐标题型一 圆锥曲线的定义、标准方程
4、及其几何性质的综合应用32211612xy分析：点A在椭圆内部，利用圆锥曲线的统一定义将M点到焦点的距离转化为到相应准线的距离，再利用数形结合的方法求解经典例题解：椭圆+=1中，a=4，c=2，e=，记点M到右准线的距离为MN，则=e=，MN=2MF，即AM+2MF=AM+MN，又点A在椭圆内部，故当A，M，N同时在垂直于右准线的一条直线上时，AM+2MF取得最小值，此时My=Ay=，代入到+=1得Mx=2 ，而点M在第一象限，M(2 ，216x212y12MFMN123216x212y333)变式11已知点P为抛物线y24x上的动点，点F为抛物线的焦点，M(2,1)，求使PFPM取得最小值时
5、的P点坐标解：容易判断点M(2,1)在抛物线内部，过点P向抛物线的准线x=-1作垂线，垂足为Q，由抛物线的定义知PQ=PF，则PF+PM=PQ+PM，只要Q、P、M三点共线，PF+PM就取得最小值，所以所求P点坐标为1,14【例2】一动圆C与定圆A：x2y26x910相切，且圆C过点B(3,0)，求动圆圆心C的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线题型二 有关动点的轨迹和轨迹方程的求解问题分析：根据题意判断两圆相内切还是外切，再利用两圆相切的充要条件建立等式，根据定义法确定曲线的类型，并写出曲线方程解：设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，将圆A的方程配方得：(x-3)2+y2=100，由于点B(-3
6、,0)在圆A的内部，故动圆C与定圆A内切，且动圆C在定圆A的内部，所以CA=10-r，CB=r，两式的两边分别相加，得CA+CB=10，由椭圆定义知点C的轨迹是焦点为A(3,0)、B(-3,0)，长轴长等于10的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，2c=6,2a=10，c=3，a=5，b2=25-9=16，圆心C轨迹方程为+=1，轨迹是椭圆225x216y变式21例2中的问题若改为：已知点P在定圆O的圆内或圆上，动圆C过点P且与定圆O相切，讨论动圆C的圆心的轨迹形状，情况怎样呢？解：由于点P的位置不同，动圆C的圆心会有不同的轨迹形状，所以要分几种情况讨论设定圆O的半径为R，动圆C的半
7、径为r.若点P与O重合(如图1)，动圆C的圆心的轨迹是以O为圆心，R为半径的圆；若点P在圆O内且与O不重合(如图2)，则CP=r，CO=R-r，所以CP+CO=ROP，所以动圆C的圆心的轨迹是以O、P为焦点，R为长轴长的椭圆；若点P在圆O上(如图3)，则动圆C的圆心的轨迹是直线OP(除去点O和点P)12图1 图2 图3【例3】(2010福建)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1,2)(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由题型三 有关直线与
8、圆锥曲线的位置关系的问题分析：将点A的坐标代入抛物线方程求出p的值；关于探索是否存在的问题，一般是先假设存在，设出方程，与抛物线联立，将图象有公共点的问题转化为二次方程有解问题，再利用平行线间的距离公式求解解：(1)将点A(1,-2)代入抛物线C：y2=2px(p0)，解得p=2，所求抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=-1.(2)假设存在适合题意的直线l，设其方程为y=-2x+t，由得y2+2y-2t=0，直线l与抛物线C有公共点，D=4+8t0，解得t-.又直线OA与l的距离等于，=，解得t=1.-1，1，存在适合题意的直线l，其方程为y=-2x+1.224yxtyx 55|5t12
9、151,21,2【例4】已知椭圆1(ab0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的两倍，求椭圆离心率的最小值题型四 有关圆锥曲线的最值和范围问题分析：利用圆锥曲线的统一定义将点M到左焦点的距离和到右准线的距离用同一变量表示，由题意建立方程，再利用椭圆的几何性质建立不等式求解解：设点M到左准线的距离为d，椭圆离心率为e，则由圆锥曲线统一定义知点M到左焦点的距离为ed，则M点到右准线的距离为，所以+d=，解得d=，解得eb0)的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果AB，求椭圆C的方程题型五 有关圆锥曲线与向量等其它知
10、识的综合问题22221xyab2AFFB154分析：将向量转化为坐标运算，建立方程求解；利用弦长公式建立方程，与离心率联立成方程组求解解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20.(1)直线l的方程为y=(x-c)，其中c=.联立得(3a2+b2)y2+2b2cy-3b4=0，解得y1=，y2=.因为，所以,即所以离心率为e=322ab222231yxcxyab 222323bcaab 222323bcaab 2222223232233bcab caabab ca232AFFB122yy(2)因为AB=|y2-y1|，所以=.由=得b=a，所以a=，得a=3，b=，椭圆C的
11、方程为+=1.113232224 33abab154ca235354154529x25y(2010北京)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直线yt与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值 知识准备：1.知道椭圆离心率的计算公式及基本量a，b，c之间的关系；2.知道直线与圆相切的条件；3.会三角换元和辅助角公式2263链接高考解：(1)=，且c=，a=，b=1，椭圆C的方程为+y2=1.ca632322ac23x(2)由题意知P(0，t)(-1t1)，由得x=，2213ytxy23 1 t 圆P的半径为23 1 t 又圆P与x轴相切，23 1 t =|t|，解得t=32点P的坐标是302(3)由(2)知，圆P的方程x2+(y-t)2=3(1-t2)，点Q(x，y)在圆P上，y=tt+，设t=cos，(0，)，则t+=cos +sin=2sin(+)当q=，即t=，且x=0时，y取最大值2.223 1 tx 23 1 t 312323 1 t 6
