1、第27课时基本不等式的应用知识点一 用基本不等式求最值1若点(a，b)在直线x2y3上移动，则2a4b的最小值是()A8 B6 C4 D3答案C解析点(a，b)在直线x2y3上，则a2b3，所以2a4b2a22b224，当且仅当a2b时等号成立故选C2下列各式中最小值等于2的是()A Bx(x4)Cx2x3 D3x3x答案D解析A不正确，例如x，a的符号相反时，式子的最小值不可能等于2B不正确，yx在4，)上递增，它的最小值是4C不正确，x2x3x2，故最小值不是23x3x22(当且仅当3x3x，即x0时等号成立)故选D3已知m0，n0，mn1且xm，yn，则xy的最小值是()A4 B5 C8
2、 D10答案B解析依题意有xymn13325，当且仅当mn时取等号故选B4已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A B C D答案B解析由x(33x)3x(33x)，当且仅当3x33x，即x时等号成立5已知x0，y0，且xy8，则(1x)(1y)的最大值为()A16 B25 C9 D36答案B解析(1x)(1y)22225，因此当且仅当1x1y即xy4时，(1x)(1y)取最大值25故选B知识点二 基本不等式的实际应用6某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2
3、元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为()A200件 B5000件 C2500件 D1000件答案D解析设进货n次，则每次的进货量为，一年的运费和租金为y元根据题意得y100n2000，当且仅当n10时取等号，此时每次进货量应为1000件故选D7如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，(1)求x的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到01米)解(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则另一边长为米，则矩形草地所需铁丝网长度为yx2令yx244(x0)，解得8x36则x的
4、取值范围是8，36(2)由基本不等式，得yx24当且仅当x，即x170时，等号成立，则y最小值24340即最少需要约340米铁丝网易错点 忽略等号成立的一致性8已知x0，y0，且x2y1，求的最小值易错分析易错解为(x2y)224在求解过程中使用了两次基本不等式：x2y2，2，但这两次取“”需满足x2y与xy，自相矛盾，所以“”取不到解x2y1，x0，y0，(x2y)332当且仅当，即xy时，取“”x2y1，当且仅当x1，y1时，有最小值，为32一、选择题1已知x，y是正数，且xy4，则取得最小值时，x的值是()A1 B2 C2 D答案B解析222，当且仅当，即xy2时取得最小值故选B2下列函
5、数中，最小值为2的是()AyBylg x(1x10)Cy2x2x(xR)Dysinx0x答案C解析利用基本不等式，注意“一正、二定、三相等”2，当且仅当，即x221时，等号成立，但x2221显然不成立，A不正确；lg x2，当且仅当lg x，即x10或时，等号成立，而1x10，故等号不成立，B不正确；2x2x2，当且仅当2x2x，即x0时取等号，C正确；sinx2，当且仅当sinx1时取等号，而0x，等号不成立，D不正确3函数f(x)的最大值为()A B C D1答案B解析令t(t0)，则xt2，f(x)当t0时，f(x)0；当t0时，f(x)t2，0f(x)的最大值为4设M是ABC内一点，且
6、2，BAC30，若MBC，MCA，MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为()A8 B9 C16 D18答案D解析由条件可得|4，设ABC的面积为S，则S|sinBAC1，SMBC，xy，故2(xy)218，当且仅当x，y时等号成立故选D5设ab0，则a2的最小值是()A1 B2 C3 D4答案D解析a2a2ababa(ab)ab224，当且仅当a(ab)且ab即a2b时，等号成立故选D二、填空题6建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为_元答案1760解析设水池池底的一边长为x m，则另一边长为 m，则总造
7、价为：y480802x22480320x48032021760当且仅当x即x2时，y取最小值1760所以水池的最低总造价为1760元7已知x，则函数y4x2的最大值是_答案1解析x，4x50，y4x24x533(54x)321，等号在54x，即x1时成立8已知m0，n0，则当81m2n2取得最小值时，mn的值为_答案4解析依题意，81m2n218mn81，当且仅当时等号成立，此时mn4三、解答题9已知a，b为正数，求证：证明因为a0，b0，所以(2ab)662642(1)2，即得10某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万
8、元满足x3(k为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件预计2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的15倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)设2018年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？解(1)由题意，知当m0时，x1，13k，即k2x3又每件产品的销售价格为15元，yx(816xm)48xm48m28m(m0)(2)y28m29，m0，(m1)28，当且仅当m1，即m3时等号成立，y29821，即当m3时，ymax21该厂家2018年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大，最大利润为21万元
