1、数学试卷考试时间：120分钟 注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角与斜率的知识点,考查由直线的方程求直线的斜率,直线的斜率和倾斜角的关系,应注意直线倾斜角的范围和特殊角的三角函数值的求法,属于基础题先由直线的方程求出斜率,再根据倾斜角的正切值等于斜率,再结合倾斜角的范围求出倾斜角【解答】解：由题意,直线的斜率为,即直线倾斜角的正切值
2、是,设倾斜角为,则,又因为,所以,故直线的倾斜角为,故选D2. 等差数列的前n项和为,且,则公差d等于()A. 1B. C. 2D. 3【答案】C【解析】解：设的公差为d,首项为,由题意得,解得,故选：C用等差数列的通项公式和前n项和公式,结合已知条件列出关于,d的方程组,解方程即可本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式,熟练应用公式是解题的关键3. 圆C：的直径为,则圆C的圆心坐标可以是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：圆C：,即,它的圆心为,根据它的直径为,得,故圆心为,结合所给的选项,故选：A把圆的一般方程化为标准方程,在根据题意求得a的值,可得结论本题主要考查圆的一
3、般方程和标准方程,属于基础题4. 已知,是椭圆的两个焦点,过点的直线交椭圆于点A,B,若,则()A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】解：由椭圆定义可知,故选：B根据椭圆定义可知的周长为,从而本题考查了椭圆的定义与简单性质,属于基础题5. 已知为等比数列,则()A. 7B. 5C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用,考查了基本运算的能力,属于基础题由,及可求,进而可求公比q,代入等比数列的通项可求,即可求【解答】解：,由等比数列的性质可得,或,当,时,当,时,则,综上可得,故选：D6. 设,则“”是“直线：与直线：平行”的()A.
4、充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当时,直线：与直线：,两条直线的斜率都是,截距不相等,得到两条直线平行,故前者是后者的充分条件,当两条直线平行时,得到,解得,后者不能推出前者,前者是后者的充分不必要条件故选：A运用两直线平行的充要条件得出与平行时a的值,而后运用充分必要条件的知识来解决即可本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题,考查两条直线平行时要满足的条件,本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式,不要漏掉截距不等的条件,本题是一个基础题7. 直线l经过椭圆短轴的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该
5、椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查点到直线的距离公式,椭圆的离心率的求法,考查计算能力,属于中档题设出椭圆的方程,求出直线的方程,利用已知条件列出方程,即可求解椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的方程为：,直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,设直线方程为：,椭圆中心到l的距离为其短轴长的,可得：,又,化简得：,故选B8. 已知圆的方程为,过点的该圆的所有弦中,最短弦的长为 A. B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系,考查垂径定理的应用,解题时要注意圆的性质的合理运用化圆的一般方程为标准方程,求
6、出圆心坐标与半径,利用垂径定理求得答案【解答】解：由,得,圆心坐标为,半径为3如图：当过点的直线与连接P与圆心的直线垂直时,弦AB最短,则最短弦长为故选C9. 在空间直角坐标系中,点关于平面xoz的对称点为关于x轴的对称点为C,则两点间的距离为A. B. 6C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查空间中点对称点的坐标的求法以及空间中两点间的距离公式先根据题意得出点B,C的坐标,再利用空间中两点间的距离公式,即可求出B,C间的距离【解答】解：由题意得：,故选B10. 设P为椭圆上的一点,、是该椭圆的两个焦点,若：1, 则的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【
7、分析】本题考查椭圆的性质,属于基础题先由椭圆的方程求出,再由定义及,求出,由此能够推导出是直角三角形,即可求面积【解答】解：1,可设,由题意可知,是直角三角形,其面积故选C11. 九章算术中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第6节的容积为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设此等差数列为,公差,由题意可得：,可得,联立解出即可得出与d的值,由等差数列的通项公式计算可得答案本题考查等差数列的性质以及前n项和公式的应用,注意建立关于等差数列的模型【解答】解：根据题意,设该竹子自上而下各节的容积为等差数列
8、,设其公差为d,且,由题意可得：,则,解可得：,则第6节的容积；故选：A12. 如图,若P为椭圆C：上一点,为椭圆的焦点,若以椭圆短轴为直径的圆与PF相切于中点,则椭圆C的方程为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：设线段PF的中点为M,另一个焦点,由题意知,又OM是的中位线,由椭圆的定义知 ,又,又,直角三角形OMF中,由勾股定理得：,又,可得,为椭圆的焦点,解得,故选：B设线段PF的中点为M,另一个焦点,利用OM是的中位线,以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长,利用焦点坐标,转化求解椭圆方程本题考查椭圆的定义,椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数转化求解椭圆方程二、
9、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等比数列的前n项和为,则_【答案】3【解析】解：设等比数列的公比为q,由,可得,解得,故答案为：3根据题意,由等比数列的求和公式,求出公比,再根据通项公式即可求出本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n项和公式的应用问题,属于基础题14. 过点且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是_【答案】或【解析】【分析】本题考查用待定系数法求直线方程,体现了分类讨论的数学思想,注意当直线过原点时横截距和纵截距都为0,也符合题意,这是解题的易错点,属于基础题当直线过原点时,用点斜式求得直线方程当直线不过原点时,设直线的方程为,把点代入直线的方程可得k值
10、,从而求得所求的直线方程,综合可得结论【解答】解：当直线过原点时,方程为,即；当直线不过原点时,设直线的方程为,把点代入直线的方程可得,故直线方程是综上,所求的直线方程为,或,故答案为或15. 若点P在圆上,点Q在圆上,则的最小值是_ 【答案】2【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题据题意易求,又两圆的半径分别为1和2,即可求出的最小值【解答】解：据题意易求,又两圆的半径分别为1和2,故的最小值为：故答案为216. 已知点P是椭圆上的一点,分别为椭圆的左、右焦点,已知,且,则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查转化
11、思想以及计算能力,属于基础题画出图形,利用椭圆的定义,以及余弦定理求出a,c的关系,然后求解椭圆的离心率即可【解答】解：点P是椭圆上的一点,分别为椭圆的左、右焦点,且,如图所示：设,则,则：可得,解得故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知直线：与直线：的交点为M求过点M且到点的距离为2的直线l的方程；求过点M且与直线：平行的直线l的方程【答案】解由解得,的交点M为,设所求直线方程为,即,到直线的距离为2,解得或直线方程为或；过点且与平行的直线的斜率为：,所求的直线方程为：,即【解析】先求两条直线的交点,设出直线方程,利用点到直线的距离,求出k,从而确定直线方程已知直线的
12、斜率,利用点斜式方程求解即可本题考查两条直线的交点坐标,直线的一般式方程,点到直线的距离公式,考查计算能力,是基础题18. 已知等差数列的前n项和为,且满足求的值；若且,成等比数列,求正整数k的值【答案】解：在等差数列,有,由知,解得公差,成等比数列,即,整理得,解得舍去或故【解析】在等差数列,有可得,因此由知,可得,由于,成等比数列,可得,代入解出即可得出本题考查了等差数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题19. 已知直线l过点,圆C：当直线l与圆相切时,求直线l的一般方程；若直线与圆相交,且弦长为,求直线l的一般方程【答案】解：将圆C的一般方程化为标准方程得,所以圆C
13、的圆心为,半径为1,因为直线l过点,所以当直线l的斜率不存在时,直线l与圆相切,此时直线l的方程为；当直线的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为,化为一般式为因为直线l与圆相切,所以,得,此时直线l的方程为,综上,直线l的方程为为或因为弦长为,所以圆心到直线l的距离为,此时直线l的斜率一定存在,设直线l的方程为,圆心到直线l：的距离由,得,所以或当时,直线l的一般方程为；当时,直线l的一般方程为【解析】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题分两种情况讨论直线l的斜率是否存在,然后设出直线,利用圆心到直线的距离等于半径列式解得；讨论直线l的斜率是否存在,设出实现l的方程,根据圆心到直线的距离
14、,圆的半径和弦长的一半满足勾股定理列式可解得20. 已知椭圆C：的离心率为,左、右焦点分别为,焦距为8求该椭圆的标准方程；若点是该椭圆上的一点,且它位于第一象限,点N是椭圆的下顶点,求四边形的面积【答案】解：由题意,解得,则该椭圆的标准方程为；点M的坐标为,又点N的坐标轴为,【解析】由已知可得关于a,c的方程组,求解a,c的值,进一步得到b,则椭圆方程可求；由已知直接利用求解本题考查椭圆的简单性质,考查直线与椭圆位置关系的应用,是中档题21. 设等差数列的前n项和满足,且,成公比大于1的等比数列求数列的通项公式设,求数列的前n项和【答案】解：设等差数列的首项为,公差为d,所以,成公比大于1的等
15、比数列,所以,即：,所以或,因为,所以,所以所以,数列的通项公式为：；由可知：设,可得：,得：【解析】本题考查数列求和,数列通项公式的应用,考查计算能力利用等差数列的首项与公差通过数列的和求出,利用,成公比大于1的等比数列,求出公差,然后求解数列的通项公式化简数列的通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可22. 已知椭圆E：的右焦点为,离心率为,过作与x轴垂直的直线与椭圆交于P,Q点,若求椭圆E的方程；设过的直线l的斜率存在且不为0,直线l交椭圆于A,B两点,若以AB为直径的圆过椭圆左焦点F,求直线l的方程【答案】解：由,过作与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,又,由解得,椭圆方程为设,直线l的方程为,代入椭圆方程可得,以AB为直径的圆过椭圆左焦点F,解得,即,故直线l的方程为【解析】由,又,解得即可,设,直线l的方程为,代入椭圆方程可得,根据韦达定理和向量的运算即可求出m的值,可得直线方程本题考查了椭圆的方程,以及椭圆的简单性质和韦达定理和向量的数量积,考查了运算能力和转化能力,属于中档题
