1、2020年天津市滨海新区七所重点中学高三毕业联考 数学试卷本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟第卷选择题(共45分) 一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1记全集UR，集合Ax|x216，集合Bx|2x2，则(UA)B()A4，) B(1，4 C1，4) D(1，4)2已知直线l1：(a2)xay30，l2：x(a2)y40，其中aR，“则a1”是“l1l2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知alog32，blog56，cln2，则a，b，c
2、的大小关系为()Aacb Bcab Cabc Dcb0，b0)的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为().6九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍()A4天 B5天 C6天 D7天7已知函数f(x)sinxcosx(0，xR)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的命题
3、中正确的是()A函数g(x)是奇函数Bg(x)的图象关于直线x对称Cg(x)在上是增函数D当x时，函数g(x)的值域是0，28在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，2，2，若，则()A. B. C D9已知函数f(x)3x3x2x23，若函数g(x)|f(x)|loga(x2)(a0，a1)在区间1，1上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. B(2，) C. D.第卷非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在相应的横线上)10已知复数z(i是虚数单位)，则复数z的虚部为_11二项式()10，则该展开式中的常数项是_12已知圆C：x2y22x
4、2y60，直线l过点(0，3)，且与圆C交于A、B两点，|AB|4，则直线l的方程为_13底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为_14世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有_种15已知x0，y0，则的最大值是_三、解答题(本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分13分)某校高三实验班的60名
5、学生期中考试的语文、数学成绩都在100，150内，其中语文成绩分组区间是：100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150，其成绩的频率分布直方图如图所示，这60名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：分组区间100，110)110，120)120，130)130，140)140，150xy12213534语文人数x243数学人数y124(1)求图中a的值及数学成绩在130，140)的人数；(2)语文成绩在140，150的3名学生均是女生，数学成绩在140，150的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件
6、M为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件M发生的概率；(3)若从数学成绩在130，150的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在140，150的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)17(本小题满分15分)已知数列an的前n项和为Sn，Snn2(nN*)，数列bn为等比数列，且a21，a41分别为数列bn第二项和第三项(1)求数列an与数列bn的通项公式；(2)若数列，求数列cn的前n项和为Tn.18(本小题满分15分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，已知BCC1，BC1，ABC1C2，点E是棱C1C的中点(1)求证：C1B平面ABC；(2)求二面角AE
7、B1A1的余弦值；(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19(本小题满分16分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，左、右焦点分别是F1、F2，且椭圆上一动点M到F2的最远距离为1，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)当F1AB以F1AB为直角时，求直线AB的方程；(3)直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得OPAOPB，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由20(本小题满分16分)已知函数f(x)msin(1x)lnx.(1)当m1时，求函数f(x)在(0，1)的单
8、调性；(2)当m0且a时，g(x)af(x)，求函数g(x)在(0，e上的最小值；(3)当m0时，h(x)f(x)b有两个零点x1，x2，且x11.数学答案1C命题立意本题考查不等式解法、集合的交集、补集运算解析Ax|x216，UAx|x216x|4x4，Bx|2x2x|x1，(UA)Bx|1x4，故选C.2A命题立意本题考查两直线垂直、充分必要条件解析当l1l2时有(a2)1a(a2)0，解得a1或a2，“a1”是“l1l2”的充分不必要条件故选A.3A命题立意本题考查对数函数的单调性解析alog32，cln2，ac1，ac0且a1)在区间1，1上有4个不同的零点等价于y|f(x)|与g(x
9、)loga(x2)在1，1上的图象有四个不同的交点，f(x)3x3x2x23f(x)，f(x)为偶函数，当x0时，f(x)3xln33xln34xln34x0，f(x)在(0，)上单调递增，f(0)1，f(1)，x0(0，1)，使得f(x0)0，画出图象如图：g(x)loga(x2)恒过点A(1，0)，当0a1时，由图得只需解得a2，故选B.10.命题立意本题考查复数的除法运算、有关概念解析zi.z的虚部为.11180命题立意本题考查二项展开式的特定项解析的展开式通项为Tr1Cr10()10r2rCr10x5r，令5r0得r2，常数项为22C210180.12y3或4x3y90命题立意本题考查
10、直线的方程、直线与圆的位置关系解析圆的标准方程为(x1)2(y1)28，圆心C(1，1)，半径r2，|AB|4，圆心C到直线l的距离d2，当l的斜率不存在时l：x0，不满足d2；当l的斜率存在时，设l：ykx3，则圆心C到l的距离d2，解得k0或k，l的方程为y3或yx3即y3或4x3y90.13.命题立意本题考查正四棱锥的外接球的表面积解析如图正四棱锥PABCD，PE平面ABCD于E，则E为正方形ABCD中心，PE2，正四棱锥的体积为12，12AB22，AB3，AE3，外接球的球心O在PE上，设半径为R，则(R2)232R2，R，S球4R2.1436命题立意本题考查排列、组合解析若小张、小赵
11、都被选上有A22A2312种方案，若小张、小赵被选上1人有C12C12A3324种方案，根据分类加法计数原理有122436种方案15.命题立意本题考查基本不等式解析，令t，则t2(当且仅当xy时等号成立).的最大值为.16命题立意本题考查频率分布直方图、古典概型、超几何分布解题思路(1)由直方图根据面积和等于1，求出a；根据直方图求出语文成绩在各区间的人数，再按x与y的比例求出数学成绩在各区间的人数；(2)将M分解为“4男0女”、“3男1女”、“2男2女”三个互斥事件，利用古典概型求得概率；(3)X服从超几何分布，写出X的所有可能取值，分别求出相对应的概率，写出分布列，代入期望公式求得期望解(
12、1)(0.0050.020a0.0400.005)101，a0.030.语文成绩在100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150中的人数分别为3，24，18，12，3.数学成绩在100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150中的人数分别为6，12，30，8，4.数学成绩在130，140)的人数为8人(2)事件M发生的概率P(M).(3)由题意可知X可能取值有0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列为X012PE(X)012.17命题立意本题考查知Sn求an、等比数列的通项公式、错位相减求和、裂项相
13、消求和解题思路(1)利用an求得an，解方程组求出b1和q，得bn；(2)由(1)得cn(2n1)2n，对于(2n1)2n利用错位相减法求和，对利用裂项相消法求和，再相加即可解(1)Snn2，当n1时，a11.当n2时，anSnSn12n1，当n1时也满足上式，an2n1(nN*)设数列bn的首项为b1，公比为q，则b12，q2.bn2n，nN*.(2)cnanbn，cn(2n1)2n.设(2n1)2n前n项和为An，前n项和为Bn，An12322523(2n1)2n2An122323524(2n1)2n1An222222322n(2n1)2n12(2n1)2n16(32n)2n1An6(2n
14、3)2n1，nN*.，Bn，Tn6(2n3)2n1.18命题立意本题考查线面垂直的证明、二面角、线面角解题思路(1)利用勾股定理证明C1BBC，由已知线面垂直得C1BAB，由线面垂直的判定定理得C1B平面ABC；(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面AB1E和平面A1B1E的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值；(3)假设存在点M满足题意，设，求出，利用(2)中平面A1BE的法向量，利用向量法及已知线面角的正弦值求出即可解(1)证明：BC1，CC12，BCC1，BC1，又BC2BC21CC21，BC1BC.AB侧面BB1C1C，ABBC1，又ABBCB，AB，BC平面ABC，C1B平面AB
15、C.(2)以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(0，0，2)，B1(1，0)，E，A1(1，2)，设平面AB1E的一个法向量为n(x1，y1，z1)，(1，2)，.令y1，则x11，n(1，1)设平面A1B1E的一个法向量为m(x，y，z)(0，0，2)，.令y，则x1，m(1，0)|m|2，|n|，mn4.cosm，n.设二面角AEB1A1为，则coscosm，n.设二面角AEB1A1的余弦值为.(3)假设存在点M，设M(x，y，z)，0，1，(x1，y，z)(1，0，2)M(1，0，2)，.由(2)知平面A1B1E的一个法向量为m(1，0)
16、，得6923850.即(31)(235)0，或.在棱CA上存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，或.19命题立意本题考查椭圆的方程、直线的方程、直线与椭圆的位置关系解题思路(1)解方程组求出a，b得椭圆方程；(2)根据|AO|F1F2|1，B、A在椭圆上联立求出A点坐标，利用两点式求出AB的方程；(3)设P(m，0)，设出直线AB的方程与椭圆方程联立，消y，利用韦达定理及斜率公式，由kAPkBP0求出m即可解(1)椭圆C的方程为y21.(2)解法一：由题意可知，当直线斜率k不存在时，F1AB不符合题意设A(x0，y0)，连接AO，F1AB为直角，AF1F2为直角三角形，又O为F
17、1F2中点，|AO|F1F2|1，即|AO|1，x20y201，又x202y202，y201，A(0，1)或A(0，1)k1，直线AB的方程为yx1或yx1.解法二：由题意可知，当k不存在时，F1AB不符合题意设直线lAB：yk(x1)，则lAF1：y(x1)，得(k21)xk21，A，2，k42k210，k21.直线AB的方程为yx1或yx1.(3)设P(m，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：yk(x1)，(12k2)x24k2x2k220.x1x2，x1x2，kAP，kBP，kAPkBP0，y1x2y2x1m(y1y2)0.2kx1x2(kmk)(x1x2)2km0.2km
18、4k，m2.P(2，0)20命题立意本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、构造函数证明不等式解题思路(1)对f(x)求导，判断f(x)在(0，1)上的正负情况，得f(x)单调性；(2)对g(x)求导，分a0，a0两种情况讨论g(x)在(0，e上的单调性，得最小值；(3)由h(x)有两个零点x1、x2，且x1x2整理得x1，x2，令t，则x1x2(t(0，1)构造函数l(t)t2lnt，对l(t)求导，判断l(t)在(0，1)上的单调性，利用l(1)0证得t2lnt1，cos(1x)0，f(x)在(0，1)上单调递增(2)当m0时，g(x)alnx，g(x)，当a0时，x(0，e)，g(x)0，此时函数g(x)在区间(0，e上单调递减，函数g(x)在xe处取得最小值，即g(x)ming(e)a；当a0时，令g(x)0x，当e时，即当a0，x(0，e)，g(x)0)，x1，x2是函数h(x)lnxb的两个零点，lnx1b0，lnx2b0.两式相减，可得ln，即ln，x1x2，则x1，x2.令t，t(0，1)，则x1x2.记l(t)t2lnt，t(0，1则l(t).又t(0，1)，l(t)0恒成立，故当0t1时，l(t)l(1)，即t2lnt1，x1x21.
