1、章末质量检测(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1椭圆1的焦距为()A4 B5C6 D92抛物线yx2的准线方程是()Ax ByCx1 Dy13已知双曲线1(a0，b0)的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为()Ayx By4xCyx Dy2x4已知F是双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，点M在C的右支上，坐标原点为O，若|FM|2|OF|，且OFM120，则C的离心率为()A. B.C2 D.5中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为()Ax2y21 B
2、x2y22Cx2y2 Dx2y26椭圆1(ab0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是()A.1 B2C.1 D27若抛物线x22py的焦点与椭圆1的下焦点重合，则p的值为()A4 B2C4 D28已知直线l过点(0，1)，椭圆C：1，则直线l与椭圆C的交点个数为()A1 B1或2C2 D09过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l有()A1条 B2条C3条 D4条10F1、F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A7 B.C. D.11在椭圆y21上有两个
3、动点P，Q，E(1,0)为定点，EPEQ，则的最小值为()A4 B3C. D112已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A. B.C2 D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知椭圆的标准方程为1(m0)，并且焦距为6，则实数m的值为_14过直线y2与抛物线x28y的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为_15已知以原点O为中心，F(，0)为右焦点的双曲线C的离心率e，则双曲线C的标准方程为_，渐近线方程为_16设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C
4、上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答题时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)求与椭圆1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程18(12分)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P(m,1)到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程19(12分)已知椭圆1及直线l：yxm，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值20(12分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F
5、1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos F1PF2的值21(12分)已知椭圆C：1(ab0)经过点P1，离心率e.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点E(0，2)的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，求OPQ的面积的最大值22(12分)已知F1，F2是椭圆1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上的一点，且满足1，过点P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点(1)求点P的坐标；(2)求证：直线AB的斜率为定值章末质量检测(二)1解析：因为椭圆的方程为x225y2161，所以a225
6、，b216，因此c2a2b29，所以c3，所以焦距为2c6.答案：C2解析：由题得x24y，所以2p4，即p2，故准线方程为yp21.答案：D3解析：根据题意，有b2a，则ba2，故其中一条渐近线方程为y2x.答案：D4解析：设双曲线的左焦点为F1，由题意可得|MF|F1F|2c，MFF1120，即有|MF1|2|MF|2|F1F|22|MF|F1F|cosMFF14c24c224c21212c2，即有|MF1|23c，由双曲线的定义可得|MF1|MF|2a，即为23c2c2a，即有c312a，可得eca312.答案：D5解析：设双曲线方程为x2a2y2a21(a0)，则c2a，渐近线方程为y
7、x，|2a|22，a22.双曲线方程为x2y22.答案：B6解析： 如图，设F(c,0)，由OAF是等边三角形，得Ac2，3c2，因为点A在椭圆上，所以有c24a23c24b21，在椭圆中有a2b2c2，联立，得c2(423)a2，即c(31)a，则其离心率eca31.故选A.答案：A7解析：椭圆x23y241的下焦点为(0，1)，p21，p2.答案：D8解析：由点(0，1)在椭圆C：x225y2361的内部，可得直线与椭圆相交，故交点个数为2.答案：C9解析：当直线l交双曲线于左、右两支时，因为2a2，|AB|4，故可有两条，若直线l交双曲线的一支于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，|AB|
8、4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条答案：C10解析：|F1F2|22，|AF1|AF2|6，|AF2|6|AF1|，结合余弦定理得|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|24|AF1|8(6|AF1|)2，|AF1|72.故SAF1F21272222272.答案：B11解析：由题意得EPQPEP(EPEQ)EP2EPEQEP2.设椭圆上一点P(x，y)，则EP(x1，y)，EP2(x1)2y2(x1)21x2434x43223，又2x2，当x43时，EP2取得最小值23.答案：C12解析：设P(xP，yP)，则双曲线的焦半径|PF1|exPa，|
9、PF2|exPa，由|PF1|4|PF2|可得exPa4(exPa)，即3exP5a，所以xP5a3e.由于点P在双曲线的右支上，则xP5a3ea，从而e53，即此双曲线的离心率e的最大值为53.答案：B13解析：2c6，c3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a225，b2m2.由a2b2c2，得25m29，m216，又m0，故m4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2m2，b225.由a2b2c2，得m225934，又m0，故m34.综上可知，实数m的值为4或34.答案：4或3414解析：依题意，抛物线x28y的焦点(0,2)即为圆心，准线y2与圆相切，圆心到切线的距离等
10、于半径，所以半径为2(2)4，故圆的方程为x2(y2)216.答案：x2(y2)21615解析：设双曲线C的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则由题意知c5，又eca52，因此a2，bc2a21.故双曲线C的标准方程为x24y21，双曲线C的渐近线方程为y12x，即x2y0和x2y0.答案：x24y21x2y0和x2y016解析：不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，得|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c，则在PF1F2中，PF1F230，由余弦定理得(2a)2(4a)2(2c)22(4a)(2c)cos 30，整理得(e3)20，
11、所以e3.答案：317解析：椭圆x2144y21691的焦点是(0，5)，(0,5)，焦点在y轴上，于是设双曲线方程是y2a2x2b21(a0，b0)又因为双曲线过点(0,2)，所以c5，a2.所以b2c2a225421.所以双曲线的标准方程是y24x2211，实轴长为4，焦距为10，离心率eca52，渐近线方程是y22121x.18解析：因为P(m,1)在抛物线上，可设抛物线方程为x22py(p0)，由抛物线的定义可知，P(m,1)到准线yp2的距离为4，所以p23，解得p6，所以抛物线的标准方程为x212y.19解析：(1)由y32xm，x24y291，消去y，并整理得9x26mx2m21
12、80.36m236(2m218)36(m218)因为直线l与椭圆有公共点，所以0，据此可解得32m32.故所求实数m的取值范围为32，32(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：x1x26m9，x1x22m2189，故|AB|1k2(x1x2)24x1x213226m9242m2189133m218，当m0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为26.20解析：(1)由题意知，半焦距c13，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴为a4，离心率之比为3713a13a4，所以a7，所以椭圆的短半轴等于49136，双曲线虚半轴的长为1392，所以椭圆和双曲线的方程分别为：x249
13、y2361和x29y241.(2)由椭圆的定义得：|PF1|PF2|2a14，由双曲线的定义得：|PF1|PF2|6，所以|PF1|与|PF2|中，一个是10，另一个是4，不妨令|PF1|10，|PF2|4，又|F1F2|213，在F1PF2中，利用余弦定理得：(213)21001680cos F1PF2，所以cos F1PF245.21解析：(1)由eca32得3c2a，设a2t，则c3t，bt，所以椭圆的方程为x24t2y2t21，由点P1，32在椭圆上，得14t234t21，解得t21，因此a24，b21，c23，故椭圆C的标准方程为x24y21.(2)当lx轴时，不合题意，故设l：yk
14、x2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入x24y21，得(14k2)x216kx120.所以x1x216k14k2，x1x21214k2，所以|PQ|1k2(x1x2)24x1x241k24k2314k2，设原点O到直线l的距离为d，则d2k21，所以SOPQ12d|PQ|122k2141k24k2314k244k234k21.设4k23t(t0)，则SOPQ4tt244t4t.因为t0，所以t4t4，当且仅当t2，即k72时取等号，且满足0，所以OPQ的面积的最大值为1.22解析：(1)F1，F2是椭圆x22y241的两焦点，则c422，即有F1(0，2)，F2(0，2)，设
15、P(x，y)，(x0，y0)，则由PF1PF21，得x2y23，又x22y241，解得x1，y2.则点P的坐标为(1，2)(2)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设直线PB的斜率为k，则直线PB的方程为y2k(x1)，由于过点P作倾斜角互补的两条直线PA，PB，则直线PA：y2k(x1)由y2k(x1)，x22y241，消去y，得(2k2)x22k(2k)x(2k)240，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由根与系数的关系，得1xB2k(2k)2k2，xBk222k22k2，得yB222k24k2k2，同理可得xAk222k22k2，yA222k24k2k2，所以kAByAyBxAxB2为定值
