1、第二十六讲 与圆有关的位置关系 考点一 点与圆的位置关系【主干必备】点与圆的位置关系 1.设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则:(1)点P在圆外_;dr (2)点P在圆上_;(3)点P在圆内_.d=r dr 2.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定 _圆.一个 【微点警示】(1)注意互逆:由点和圆的位置关系可以推得d与r的大小关系;反之,由d与r的大小关系也可以推得点和圆的位置关系.(2)注意条件:三个点确定一个圆的前提是这三个点不在同一直线上.【核心突破】例1(2018泰安中考)如图,M的半径为2,圆心M的坐 标为(3,4),点P是M上的任意一点,PAPB,且PA,PB与
2、x轴分别交于A,B两点,若点A,点B关于原点O对称,则AB 的最小值为()C A.3 B.4 C.6 D.8【明技法】圆外一点到圆上各点的距离的最值(1)最短距离=圆外一点与圆心的距离-半径.(2)最长距离=圆外一点与圆心的距离+半径.【题组过关】1.(2019上海金山区模拟)如图,在RtABC中,C=90,BC=2,B=60,A的半径为3,那么下列说 法正确的是()D A.点B,点C都在A内 B.点C在A内,点B在A外 C.点B在A内,点C在A外 D.点B,点C都在A外 2.(易错警示题)在直角坐标平面内,点O是坐标原点,点 A的坐标是(3,2),点B的坐标是(3,-4).如果以点O为圆 心
3、,r为半径的圆O与直线AB相交,且点A,B中有一点在圆 O内,另一点在圆O外,那么r的值可以取()A.5 B.4 C.3 D.2 B 3.(2019江都区模拟)有一张矩形的纸片,AB=6 cm,AD=8 cm,若以A为圆心作圆,并且要使点B在A内,而点 C在A外,A的半径r的取值范围是_ _.世纪金榜导学号 6 cmrr d=r dr【微点警示】(1)注意互逆:由直线和圆的位置关系可以推得d与r的大小关系;反之,由d与r的大小关系也可以推得直线和圆的位置关系.(2)“d”的不同:点与圆的位置关系中,“d”是指两点之间的距离;直线与圆的位置关系中,“d”是指点与直线的距离.【核心突破】例2(20
4、19菏泽中考)如图,直线y=-3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动点,以点P为圆心,以1个单 位长度为半径作P,当P与直线AB相切时,点P的坐标 是_.3 x4717(0)(0)33，或，【明技法】判断直线与圆位置关系的两种方法 1.用直线与圆交点的个数来判断.2.用圆心到直线的距离与半径的大小来判断.【题组过关】1.(易错警示题)已知O的半径为4,直线l上有一点P与 O的圆心的距离为4,则直线l与O的位置关系为 ()A.相离 B.相切 C.相交 D.相切、相交均有可能 D 2.(2019杭州上城区模拟)已知BAC=45,一动点O 在射线AB上运动(点O与点A不重合),设OA=x,如
5、果半径 为1的O与射线AC有公共点,那么x的取值范围是 ()A.0 x1 B.1x C.0 C 2223.(2019玄武区模拟)直径为10 cm的圆,若该圆的圆 心到直线的距离为4 cm,则该直线与圆的公共点个数为 _.2 4.(2019达州中考)如图,O是ABC的外接圆,BAC的平分线交O于点D,交BC于点E,过点D作直线DFBC.世纪金榜导学号(1)判断直线DF与O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=6,AE=,CE=,求BD的长.12 354 75【解析】(1)DF与O相切,理由:连接OD,BAC的平分线交O于点D,BAD=CAD,ODBC,DFBC,ODDF,DF与O相切.BD CD
6、(2)BAD=CAD,ADB=C,ABDAEC,BD=.ABBDAECE6BD12 34 7552 213考点三 切线的性质与判定【主干必备】1.切线的定义、性质与判定(1)定义:和圆有_公共点的直线.(2)性质:圆的切线_过切点的半径.唯一 垂直于 (3)判定:经过半径的外端,并且_于这条半 径的直线是圆的切线.垂直 2.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 _,这一点和圆心的连线_两条切 线的夹角.相等 平分 【微点警示】(1)注意性质与判定的区别:知切线推得“垂直”是性质,知“垂直”推得切线是判定.(2)注意“切线长”的含义:圆的切线是直线,本无长度,“切线长”专指圆外
7、一点和切点之间的线段的长度.【核心突破】例3(2019菏泽中考)如图,BC是O的直径,CE是O的弦,过点E作O的切线,交CB的延长线于点G,过点B作BFGE于点F,交CE的延长线于点A.(1)求证:ABG=2C.(2)若GF=3 ,GB=6,求O的半径.3【思路点拨】(1)连接OE,根据切线的性质得到OEEG,推出OEAB,得到A=OEC,根据等腰三角形的性质得 到OEC=C,求得A=C,根据三角形的外角的性质 即可得到结论.(2)根据勾股定理得到BF=3,根据相似三角 形的性质即可得到结论.22BGGF【自主解答】(1)连接OE,EG是O的切线,OEEG,BFGE,OEAB,A=OEC,OE
8、=OC,OEC=C,A=C,ABG=A+C,ABG=2C.(2)略 例4【原型题】(2019凉山州中考)如图,点D是以AB为直径的O上一点,过点B作O的切线,交AD的延长线于点C,E是BC的中点,连接DE并延长与AB的延长线交于点F.(1)求证:DF是O的切线.(2)若OB=BF,EF=4,求AD的长.【自主解答】略【变形题】(变换条件、结论)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交BC边于点D,交AC边于点E.过点D作O的切线,交AC于点F,交AB的延长线于点G,连接DE.(1)求证:BD=CD.(2)若G=40,求AED的度数.【解析】(1)连接AD,AB为直径,ADB=90,AD
9、BC,AB=AC,BD=CD.(2)略【明技法】与圆的切线有关的三种辅助线(1)若已知直线与圆相切,先连接圆心和切点,根据切线性质得到直角,再作进一步的计算或推理,可简述为:见切线,连半径,得垂直.(2)若已知直线与圆的公共点,证该直线为圆的切线,则采用判定定理法,其基本思路是:当已知点在圆上时,连接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即可,可简述为:有公共点,连半径,证垂直,得切线.(3)若未知直线与圆的交点,证该直线为圆的切线,则采用数量关系法,其基本思路是:过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径,可简述为:无公共点,作垂线,证半径,得切线.【题组过关】1.(2019无锡中考)如
10、图,PA是O的切线,切点为A,PO 的延长线交O于点B,若P=40,则B的度数为 ()B A.20 B.25 C.40 D.50 2.(2019石家庄市桥西区模拟)如图,AB是O的直径,点P是O外一点,PO交O于点C,连接BC,PA.若P=40,当B等于_时,PA与O相切 世纪金 榜导学号()B A.20 B.25 C.30 D.40 3.(2019菏泽东明县模拟)如图,PA,PB切O于点A,B,PA=10,CD切O于点E,交PA,PB于C,D两点,则PCD的周 长是()C A.10 B.18 C.20 D.22 4.(2019河南模拟)如图,已知AB是O的直径,AD,BD 是半圆的弦,PDA
11、=PBD,BDE=60,若PD=,则PA 的长为_.世纪金榜导学号 3 1 5.(2019天水中考)如图,AB,AC分别是O的直径和弦,ODAC于点D.过点A作O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F.(1)求证:PC是O的切线.(2)若ABC=60,AB=10,求线段CF的长.【解析】(1)连接OC,ODAC,OD经过圆心O,AD=CD,PDAPDC,PA=PC.在OAP和OCP中,OAPOCP(SSS),OCP=OAP.PA是O的切线,OAP=90,OCP=90,即OCPC,PC是O的切线.(2)略 OAOC,PAPC,OPOP，考点四 三角形的外接圆与内切圆【主干必备】
12、外 接 圆 定义:经过三角形的三个_的圆.三角形的外心:三角形_的圆心,是 三角形三条边的_的交点,到 三角形_的距离相等.顶点 外接圆 垂直平分线 三个顶点 内 切 圆 定义:与三角形各边都_的圆.三角形的内心:三角形_的圆心,是 三角形三条_的交点,到三角形 _的距离相等.相切 内切圆 角平分线 三边 【微点警示】(1)三角形外心与内心的位置:锐角三角形的外心在其内部,直角三角形的外心在其斜边上,钝角三角形的外心在其外部;而任意三角形的内心都在其内部.(2)等边三角形的外心与内心:等边三角形的外接圆与内切圆是同心圆,即等边三角形的外心与内心合二为一.【核心突破】例5(2018长沙中考)如图
13、,在ABC中,AD是边BC上的中线,BAD=CAD,CEAD,CE交BA的延长线于点E,BC=8,AD=3.(1)求CE的长.(2)求证:ABC为等腰三角形.(3)求ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.【思路点拨】(1)证明AD为BCE的中位线得到CE=2AD=6.(2)通过证明AC=AE得到AB=AC.(3)取ABC的外心点P,内心点Q,连接BP,BQ,CQ,先利用 勾股定理计算出AB=5,设P的半径为R,Q的半径为r,在RtPBD中利用勾股定理得到(R-3)2+42=R2,解得 R=,则PD=,再利用面积法求出r=,即QD=,然后计算PD+QD即可.256764343【自主解答】
14、略 【明技法】与三角形的外心与内心有关的解题技巧(1)连接外心与三角形各顶点,可得等腰三角形.(2)连接内心与三角形顶点的连线平分这个内角.【题组过关】1.(易错警示题)如图,点I是ABC的内心,若AIB=125,则C等于()B A.65 B.70 C.75 D.80 2.(2019荆门中考)如图,ABC的内心为I,连接AI并 延长交ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的大小关系是 世纪金榜导学号()A A.DI=DB B.DIDB C.DIDB D.不确定 3.(2019宿迁中考)直角三角形的两条直角边分别是5 和12,则它的内切圆半径为_.世纪金榜导 学号 2 4.(2019荆门中考)已知
15、锐角ABC的外接圆圆心为O,半径为R.(1)求证:=2R.(2)若在ABC中A=45,B=60,AC=,求BC的长 及sin C的值.ACsin B3【解析】(1)连接AO并延长交圆于D点,连接CD,AD为直径,ACD=90,且ABC=ADC.在RtACD中sinABC=sinADC=,=2R.ACACAD2RACsin B(2)由(1)知 =2R,同理可得 =2R.2R=2,BC=2RsinBAC=2sin 45=,如图,作CEAB,垂足为E,ACsin BABBCsin ACBsin BAC3sin 602BE=BCcos B=cos 60=,AE=ACcos A=cos 45=,AB=AE+BE=AB=2RsinACB,sinACB=23226262,22AB62.2R4
