1、第二十五讲 圆 的 认 识 考点一 垂径定理及推论【主干必备】一、圆的定义及圆的轴对称性 1.定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋 转_,另一个端点A所形成的图形.一周 2.轴对称性:圆是_,任何一条_ _都是它的对称轴.轴对称图形 直 径所在直线 二、垂径定理及推论 1.垂径定理:垂直于弦的直径_,并且平分 弦所对的_.2.推论:平分弦(不是直径)的直径_,并 且平分弦所对的_.平分弦 两条弧 垂直于弦 两条弧 【微点警示】(1)注意“知二推三”:一条直线满足:过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对优弧,平分弦所对劣弧,这五个结论中的两个,可以推得其他三个结论成立.(2)注意“非
2、直径”条件:若一条直径所平分的弦也是直径,则推论不成立.【核心突破】例1【原型题】(2018枣庄中考)如图,AB是O的直 径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,APC=30,则CD的长 为()C A.B.2 C.2 D.8 15155【变形题】(变换条件、结论)如图,AB是O的直径,弦 CD交AB于点P,CP=3,DP=5,APC=45,则AB的长为 _.2 17【明技法】垂径定理运用中的“两注意”(1)两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线,二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解.(2)方程思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时
3、,常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题.这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路.【题组过关】1.(2019武汉硚口区模拟)半径为10的O中,弦AB=16,则点O到弦AB的距离为()A.10 B.8 C.6 D.5 C 2.(2019北部湾中考)九章算术作为古代中国乃 至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的几 何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术中 记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯 之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原 文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为_寸.世
4、纪金榜导学号 26 3.(易错警示题)在O中,半径为5,ABCD,且AB=6,CD=8,则AB,CD之间的距离为_.1或7 4.如图是“明清影视城”的圆弧形门,黄红同学到影视 城游玩,很想知道这扇门的相关数据.于是她从景点管 理人员处打听到:这个圆弧形门所在的圆与水平地面是 相切的,AB=CD=20 cm,BD=200 cm,且AB,CD与水平地面 都是垂直的.根据以上数据,请你帮助黄红同学计算出 这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少?世纪金 榜导学号 略 考点二 圆心角、弧、弦之间的关系【主干必备】圆心角、弧、弦之间的关系 1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 _,所对的弦也_.
5、相等 相等 2.推论:在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦 中如果有一组量_,那么它们所对应的其余 各组量都分别_.相等 相等 【微点警示】(1)注意成立的条件:圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论成立的大前提是“在同圆或等圆中”.(2)注意推出的依据:圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论,都是来源于“圆的旋转不变性”.【核心突破】例2(2019南京中考)如图,O的弦AB,CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:PA=PC.【思路点拨】连接AC,由圆心角、弧、弦的关系得出 ,进而得出 ,根据等弧所对的圆周角相 等得出ACP=CAP,根据等角对等边证得结论.AB CDAD CB【自主解答】
6、略【明技法】圆中证明弦相等的两个思路(1)根据圆周角相等,得到弦相等.(2)根据弧相等,得到弦相等.【题组过关】1.如图,AB,CD是O的直径,若AOE=32,则 COE的度数是()AEBDD A.32 B.60 C.68 D.64 2.如图,在O中,都是劣弧,且 ,那么 弦AB、CD的数量关系是()ABCD，AB2CDC A.AB2CD B.AB=2CD C.AB2CD D.AB,CD的大小无法确定 3.(2019自贡中考)如图,O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC.求证:(1).(2)AE=CE.AD BC【证明】(1)AB=CD,ABCDADACBCAC，即，ADBC
7、.(2)AD=BC,又ADE=CBE,DAE=BCE,ADECBE(ASA),AE=CE.ADBC，考点三 圆周角定理及推论【主干必备】圆周角定理及推论 1.定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 _.一半 2.推论:(1)半圆(或直径)所对的圆周角是_,90的 圆周角所对的弦是_.(2)同弧或等弧所对的圆周角_.直角 直径 相等 【微点警示】(1)圆心角与圆周角的区别:前者的顶点在圆心,后者的顶点在圆上.(2)等弧的含义:在同圆或等圆中能够互相重合的弧为等弧.【核心突破】例3(2018黑龙江中考)如图,AC为O的直径,点B在圆 上,ODAC交O于点D,连接BD,BDO=15,则 ACB
8、=_.60 【明技法】圆中角的转化(1)解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.(2)在圆中当有直径这一条件时,往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件,若含45角,可设法构造等腰直角三角形;若含30或60角,则设法构造含有30角的直角三角形.【题组过关】1.(2019甘肃中考)如图,AB是O的直径,点C,D是圆 上两点,且AOC=126,则CDB=()C A.54 B.64 C.27 D.37 2.(2019滨州中考)如图,AB为O的直径,C,D为O上 两点,若BCD
9、=40,则ABD的大小为()B A.60 B.50 C.40 D.20 3.(2019连云港中考)如图,点A,B,C在O上,BC=6,BAC=30,则O的半径为_.6 4.(综合训练题)如图,在平面直角坐标系中,已知A经 过点E,B,C,O,且C(0,6),E(-8,0),O(0,0),则cosOBC 的值为_.455.(2019湖州模拟)在O中,直径ABCD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CFAD.求D的度数.世纪金榜导学号 略 考点四 圆内接四边形【主干必备】圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角_.【微点警示】(1)圆内接四边形的含义:四个顶点都在同一个圆上的四边形.(2)圆内接平
10、行四边形:圆内接平行四边形对角相等且互补,可得四个角都是直角,因此它是矩形.【核心突破】例4【原型题】(2019镇江中考)如图,四边形ABCD是 半圆的内接四边形,AB是直径,.若C=110,则ABC的度数等于()DC CBA A.55 B.60 C.65 D.70【变形题】(变换条件、结论)如图,A,B,C三点都在O 上,点D是AB延长线上一点,CBD=70,则AOC的度数 为()D A.55 B.70 C.110 D.140 【明技法】圆内接四边形的角的“两种”关系(1)对角互补:若四边形ABCD为O的内接四边形,则A+C=180,B+D=180.(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对角.【题组过关】1.(2019宁波模拟)在圆内接四边形ABCD中,若A BC=123,则D的度数是()A.45 B.60 C.90 D.135 C 2.(2019兰州中考)如图,四边形ABCD内接于O,若 A=40,则C=()D A.110 B.120 C.135 D.140 3.如图AB为O的直径,弦CDAB,垂足为点E,K为 上 一动点,AK,DC的延长线相交于点F,连接CK,KD.AC(1)求证:AKD=CKF.(2)若AB=10,CD=6,求tanCKF的值.【解析】略
