1、 练案44第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础巩固一、单选题1在空间中，下列命题正确的是(D)A经过三个点有且只有一个平面B经过一个点和一条直线有且只有一个平面C经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个D经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个2四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为(A)A4B3C2D1解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面3a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(C)A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，
2、bc，则ac解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确故选C.4如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是(C)A直线ACB直线ABC直线CDD直线BC解析由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.5(2020青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1
3、中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(D)ABCD解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.6(2018陕西榆林模拟)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为(B)ABCD解析如图，取B1C1的中点P，连接BP，MP.直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底ABCD是边长为1的正方形，AA12，M，N分别是
4、A1B1，A1D1的中点，ANBP，MBP是BM与AN所成的角(或所成角的补角)BMBP，MP，cosMBP.BM与AN所成的角的余弦值为.故选B.7(2019江西高安期末)三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(A)CC1与B1E是异面直线；AE与B1C1是异面直线，且AEB1C1；AC平面ABB1A1；A1C1平面AB1E.ABCD解析对于，CC1，B1E都在平面BB1CC1内，故错误；可排除B、C，对于，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误，选A项8(2019福建
5、长汀、连城一中等六校联考)已知正三棱锥SABC的底面边长为2、侧棱长为2，D、E分别是AB、SC的中点，则异面直线DE与BC所成的角的大小为(B)A90B60C45D30解析作SO平面ABC于O，则C、O、D共线，由题意可知CO，cosSCD，取SB的中点H，连HE，HD，则HEBC，从而HED即为异面直线DE与BC所成的角，且HE1，DH，又DE2DC2CE22DCCEcosDCS4，EHD90，又EHDE，HED60，故选B.9(2019福建漳州二模)在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点，则异面直线AD1与OC1所成角的余弦值为(C)ABCD解析由题意知OBD，连BC1，则B
6、C1AD1，OC1B即为AD1与OC1所成的角，设正方体棱长为a，则BOa，BC1a，又BC1DC1，C1OBD，sinOC1B，从而cosOC1B，故选C.10(2019内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是(D)A(0，)B(0，C0，D(0，二、多选题11如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的是(ABC)解析在A图中分别连接PS，QR，易证PSQR，P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ/RS，P，Q，R，S共面；如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一
7、正六边形，故四点共面；D图中PS与 QR为异面直线，四点不共面，故选ABC.12.(原创)三个平面可将空间分成()部分(ACD)A4B5C7D8解析三个平面可将空间分成4或6或7或8部分13(2020湖北名师联盟模拟改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列结论错误的是(ABD)A直线EF，AO是异面直线B直线EF，BB1是相交直线C直线EF与BC1所成角为30D直线EF与BB1所成角的余弦值为解析OF綊AE，EF、AO是相交直线，A错；EF、BB1是异面直线，B错；如图，OF綊BE，EFBO，C1BO为EF与BC
8、1所成的角，设正方体棱长为2，则BC12，OC1，BO，BCOCBO，即BOOC1，OBC130，C对；EF与BB1所成角的余弦值为，D错；故选ABD.三、填空题14(2020郑州质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为.解析如图所示，取AB的中点E，连接B1E，则AMB1E，取EB的中点F，连接FN，则B1EFN，因此AMFN，则直线FN与CN所夹的锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角，设AB1，连接CF，在CFN中，CN，FN，CF.由余弦定理，得cosCNF.15(2019云南模拟)在正三棱柱ABCA1B1C1中
9、，若ABBB1，则异面直线AB1与C1B所成的角是_90_.解析将正三棱柱补成四棱柱，如图，设BB1，则AB2，连接AD1，BD1，则BC1AD1，D1AB1即为异面直线AB1与BC1所成的角，又由题意易知AB1AD1，B1D12，B1DABAD，B1AD190.另解1：本题若取A1B1的中点D，连DC1，易证AB1平面BDC1，从而AB1BC1.另解2：可建立空间直角坐标系，用向量法求解B组能力提升1(2020甘肃诊断)直三棱柱ABCABC中，ABC90，AB4，BC2，BB，则异面直线AC与BC所成角的余弦值为.解析连接BC，交CB于E，则E为BC为中点，取AB中点F，连接EF，故EFAC
10、，则FEC或其补角为所求，又EFAC，FC2，CEBC，在三角形EFB中，cosFEC，故答案为.2. (2020河北衡水中学调研)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(D)ABC.D解析由题意可知ADBC，EAD即为异面直线AE与BC所成的角，设圆柱上、下底面圆心为O，O1，连OE、OA、ED，不妨设正方形ABCD的边长为2，则AO，从而AEED，则cosEAD，即AE与BC所成角的余弦值为，故选D.3(多选题)如图是侧棱长和底面边长都相等的正四棱锥的平面展开图，M，N，P，Q分别是边BF，AB，CD，DH的中点，则在这个正四棱锥，下列四个结
11、论正确的为(BD)AMN和CD平行BCE和PQ平行CMN和PE所成的角为60DEP和AB垂直解析正棱锥直观图如图，显然MN与CD异面，A错；B对；连AP，由MNAE知，AEP为异面直线MN与PE所成的角，设四棱锥的棱长为2a，则APa，PEa，cosAEP，C错；PECD，CDAB，PEAB，D对故选B、D.4(2019西安模拟)如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_60_.解析将图形补成正方体，如图，连BH，HD，则HBD即为异面直线AP与BD所成的角，又BHBDHD，HBD60.5.如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥AEBC的体积解析(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为，A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，AE与PB是异面直线(2)取BC的中点F，连接EF、AF，则EFPB，所以AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF，异面直线AE和PB所成角的余弦值为.(3)因为E是PC的中点，所以E到平面ABC的距离为PA1，VAEBCVEABC(2)1.