1、第四节 抛物线1.抛物线的定义：平面内到_叫做抛物线，定点F叫做抛物线的_，定直线l叫做抛物线的_基础梳理焦点一个定点F和一条定直线l(定点F不在l上)的距离相等的点的轨迹准线2.抛物线的标准方程：由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：方程焦点准线图象y2=2px(p0)_y2=-2px(p0)_x2=2py(p0)_x2=-2py(p0)_,02pF 2px ,02pF 0,2pF 0,2pF 2px 2py 2py 3.标准方程中p的几何意义 是表示_，因为焦点不在准线上，所以p0.抛物线焦点在_，标准方程中一次项系数的正负号决定了_，一次项系数为
2、正，抛物线开口_，一次项系数为负，抛物线开口_ 焦点到准线的距离一次项对应的轴上抛物线的开口方向向坐标轴正向向坐标轴负向4.一般地，对以y22px(p0)为方程的抛物线，具有明显的几何性质(其它抛物线有类似的性质)：(1)范围：_；(2)对称性：抛物线_对称轴，即x轴，抛物线没有_；(3)顶点：抛物线_顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的_；(4)离心率：抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较其结果是应规定抛物线的离心率为1.注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了x0，+)，y(-，+)只有一条 对称中心只有一个 中点5.解决直线
3、与抛物线的位置关系的有关问题时，一般是将直线与抛物线联立，消去一个变量后转化为关于另外一个变量的一元二次方程的问题，利用判别式和韦达定理、两点间距离公式等知识求解6.通径：通过抛物线的焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得线段叫做该抛物线的_，长度是_，通径是抛物线过焦点的弦中_ 通径2p 长度最小的弦1.(选修21P47练习1改编)已知抛物线的标准方程为2y25x0，则它的焦点坐标为_，准线方程为_基础达标52x 5,08解析：化为标准方程为y2=-x，因为2p=，p=，所以焦点坐标是，准线方程是x=.52545,08582.(选修21P48练习4改编)焦点到准线的距离是2的抛物线的标准
4、方程是_解析：焦点到准线的距离是2，即p=2，但由于焦点位置不确定，所以其方程可以为y2=4x或x2=4y.y2=4x或x2=4y3.顶点在原点，焦点在y轴上，经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为_ 解析：由于抛物线过点P(4，-2)，且焦点在y轴上，则焦点一定在y轴负半轴上设抛物线方程为x2=-2py，把(4，-2)代入得p=4，所以抛物线方程为x2=-8y.x2=-8y4.已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上又知抛物线上一点A(4，m)到准线距离为6，则m_.解析：设抛物线的方程为y2=2px(p0)，由已知得+4=6，p=4，抛物线方程y2=8x，将A(4，m)代入，得m2=32，m=4
5、 .2p2245.设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，则抛物线的方程_ 解析：抛物线的准线方程为x=-，则=3，解得m=8或m=-16.故抛物线方程为y2=8x或y2=-16x.4m14my2=8x或y2=-16x【例1】已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求出取最小值时点P的坐标题型一 抛物线的定义及其应用经典例题分析：抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求PA+PF的问题可转化为PA+d的问题，再运用三点共线可使问题得到解决解：将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=2，点A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l
6、：x=-的距离为d，由定义知PA+PF=PA+d.由图可知当PAl时，PA+d最小，最小值为，即PA+PF的最小值为.此时点P的纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，即点P的坐标为(2,2)66127272若例1中A点坐标变为(2,3)，求PAPF的最小值解：将x=2代入抛物线方程得y=2.32，点A在抛物线外部又PA+PFAF=，A、P、F三点共线时有最小值，最小值为.325325变式11【例2】已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A(m，3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程题型二 抛物线的几何性质和标准方程分析：因为点A(m，-3)在直线y=-3上，
7、所以抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情况，必须分类讨论解：若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x2=-2py(p0)，这时准线方程为y=.由抛物线定义知-(-3)=5，解得p=4，所以抛物线方程为x2=-8y.这时将点A(m，-3)代入方程，得m=2 ；2p62p5229amam2a若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y2=2ax(a0)，从p=|a|知，准线方程可统一成x=-的形式，于是由题设得解此方程组可得四组解11192am22192am 33912am4491.2am 抛物线共有四条：y2=2x，m=；y2=-2x，m=-；y2=18x，m=；y2=-18x，m=-.9
8、2921212抛物线y22px(p0)有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y2x，斜边长是5，求此抛物线方程变式21解：设AOB为题中直角三角形，OA边的方程为y=2x，则OB边的方程为y=-x.由得A ，由得B(8p，-4p)则由|AB|=5 ，得=5 ，且p0，解得p=.所求抛物线方程为y2=x.12222yxypx,2p p2122yxypx 342822pppp 32 39134 3913【例3】已知正方形的一条边AB在直线yx4上，顶点C、D在抛物线y2x上，求该正方形的边长分析：利用两条平行线间的距离公式和两点间的距离公式分别求出正方形的边长，建立方程求解解：设CD
9、的方程为y=x+b，由消去x得y2-y+b=0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1+y2=1，y1y2=b，CD=，又AB与CD的距离d=，由四边形ABCD为正方形得=，解得b=-2或b=-6.正方形的边长为3 或5 .2yxbyx112k11 24 1 2yyy y 2 8b|4|2b2 8b|4|2b22顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y2x1交于P、Q两点，已知PQ，求抛物线的方程变式31152221ypxyx 22p 21k212124xxx x 55212424p 1524pp143解：设抛物线的方程为y2=2px，则消去y得4x2-(2p-4)x+1=0，x1+x2
10、=，x1x2=，PQ=|x1-x2|=则=，p2-4p-12=0，解得p=-2或6，y2=-4x或y2=12x.【例4】某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过桥孔？为什么？题型四 抛物线的实际应用分析：从题目中的信息可以看出，建立适当坐标系后，可求出抛物线标准方程，然后，求出船体
11、距水面的高度，并结合已知数据，进行判断，得出结论解：如图所示，建立直角坐标系设抛物线方程为y=ax2，则A(10，-2)在抛线物上，-2=102 a=-，方程即为y=-x2，让货船沿正中央航行船宽16米，而当x=8米时，y=-82=-1.28(米)，B点离水面高度为-1.28-(-6)=4.72(米)船体距水面高度为5米，无法直接通过又5-4.72=0.28(米)，0.28 0.04=7，而150 7=1 050吨1 000吨，用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降a150150150 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点
12、处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是多少？变式41解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图灯口直径AB=24 cm，灯深OP=10 cm，点A的坐标是(10,12)设抛物线的方程为y2=2px(p0)，点A(10,12)在抛物线上，得122=2p10，p=7.2.抛物线焦点F的坐标为(3.6,0)因此，灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.1.(2010浙江)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_知识准备：1.会求抛物线焦点坐标；2.会用中点坐标公式链接高考342 解析：由抛物线方程求得焦点F ，利用中点坐标公式解得线段FA的中点B ，代入抛物线方程解得p=，B点坐标为，抛物线的准线方程为x=-，点B到抛物线准线的距离为.,02p,14p22,14223422.(2010重庆)已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF2，则BF_.知识准备：1.理解p的几何意义及其求法；2.理解抛物线定义 解析：由抛物线的定义可知AF=AA1=KF=2，如图，ABx轴，故AF=BF=2.2
