1、专题限时集训(九)三角函数和解三角形 1(2020新高考全国卷)在ac，csinA3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分解方案一：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由ac，解得a，bc1.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c1.方案二：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc，BC，A
2、.由csin A3，所以cb2，a6.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c2.方案三：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由cb，与bc矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在2.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C(1)求A；(2)若ab2c，求sin C解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin
3、 Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.3(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinbsin A(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A因为sin A0，所以sinsin B由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知A
4、BC的面积SABCa.由(1)知AC120.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.结合AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.4(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.5(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对
5、边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题设得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc.故ABC的周长为3.1(2020四省八校联盟高三联考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A，tan B，a5.(1)求tan C；(2)求ABC的最
6、长边解(1)由题意知，tan Ctan(AB)3.(2)由(1)知C为钝角，所以C为最大角，因为tan A，所以sin A，又tan C3，所以sin C.由正弦定理得，所以c，即ABC的最长边为.2(2020江西红色七校第一次联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos Ccb.(1)求角A的值；(2)若b4，c6，求cos B的值解(1)由条件acos Ccb，得sin Acos Csin Csin B，又由sin Bsin(AC)，得sin Acos Csin Csin Acos Ccos Asin C由sin C0，得cos A，故A.(2)在ABC中，由余弦定理
7、a2b2c22bccos A及b4，c6，A，得a228，故a2，法一：cos B.法二：由得sin B，因为ba，所以BA，B，故cos B.3(2020贵阳模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcos Bacos Cccos A(1)求角B的大小；(2)若b2，求ABC面积的最大值解(1)2bcos Bacos Cccos A，由正弦定理得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A，2sin Bcos Bsin(AC)，又sin B0，sin(AC)sin B，2cos B1.cos B，又B(0，)，B.(2)b2，B，由余弦定理得4a2c22a
8、ccos Ba2c2ac2acacac，即ac4(当且仅当ac2时“”成立)，SABCacsin Bac4，当且仅当ac2时，ABC的面积取得最大值.4(2020济宁模拟)在ABC中，A90，点D在BC边上在平面ABC内，过D作DFBC且DFAC(1)若D为BC的中点，且CDF的面积等于ABC的面积，求ABC；(2)若ABC45，且BD3CD，求cosCFB解(1)因为D是BC的中点，所以CDBC由题设知，DFAC，CDDFABAC，因此CDAB所以ABBC，因此ABC60.(2)不妨设AB1，由题设知BC.由BD3CD得BD，CD.由勾股定理得CF，BF.由余弦定理得cosCFB.5(202
9、0烟台模拟)在f (x)的图象关于直线x对称，f (x)的图象关于点对称，f (x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由已知函数f (x)4sina(N*)的最小正周期不小于，且_，是否存在正实数a，使得函数f (x)在上有最大值3?解由于函数f (x)的最小正周期不小于，所以，所以16，N*.若选择，即f (x)的图象关于直线x对称，则有k(kZ)，解得k(kZ)，由于16，N*，kZ，所以k3，4.此时，f (x)4sina.由x，得4x，因此当4x，即x时，f (x)取得最大值4a，令4a3，解得a1，不符合题意故
10、不存在正实数a，使得函数f (x)在上有最大值3.若选择，即f (x)的图象关于点对称，则有k(kZ)，解得k(kZ)，由于16，N*，kZ，所以k1，3.此时，f (x)4sina.由x，得3x，因此当3x，即x时，f (x)取得最大值4sinaa，令a3，解得a3，不符合题意故不存在正实数a，使得函数f (x)在上有最大值3.若选择，即f (x)在上单调递增，则有(kZ)，解得由于16，N*，kZ，所以1.此时，f (x)4sina.由x，得x，因此当x，即x时，f (x)取得最大值2a，令2a3，解得a32，符合题意故存在正实数a32，使得函数f (x)在上有最大值3.6(2020青岛模
11、拟)在ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，bcos Cccos B4，B.请在下列三个条件(abc)(sin Asin Bsin C)3asin B，b4，csin Bbcos C中任意选择一个，添加到题目的条件中，求ABC的面积注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解因为bcos Cccos B4，所以由余弦定理得bc4，解得a4.若选择条件，即(abc)(sin Asin Bsin C)3asin B，在ABC中，由正弦定理得(abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，整理得a2b2c2ab，所以由余弦定理得cos C，又C(0，)，故C.又B，所以A.由，
12、得b4(1)，故ABC的面积Sabsin C44(1)sin4(3)若选择条件，即b4，因为B，所以由，得sin A.因为A(0，)，所以A或A.由于ba，所以BA，因此A不合题意，舍去，故A，则C，故ABC的面积Sabsin C44sin4(1)若选择条件，即csin Bbcos C，在ABC中，由正弦定理可得sin Csin Bsin Bcos C，易知sin B0，所以tan C.因为C(0，)，所以C，又B，所以A，由，得b4(1)，故ABC的面积Sabsin C44(1)sin4(1)7(2020滨州模拟)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且其面积为S.，|2，S.(
13、1)请从以上三个条件中任选2个，并求角B；(2)在(1)的基础上，点D在AB边上，若sinCADsinACD，求sinCDB注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解对于条件，由正弦定理得，则tan Atan B，可得AB对于条件，由|2可得|20，即()0，则C.对于条件，易得bcsin A，即4sin A，即sin Acos A，得tan A，故A.若选，(1)易得ABC是以角C为直角的等腰直角三角形，所以B.(2)由sinCADsinACD，可得CDAD，不妨设AD1，则CD，设ACx，由余弦定理可得，得x，所以BCAC.在BCD中，所以sinCDB.若选，(1)易得ABC是以角C
14、为直角的直角三角形，又A，所以B.(2)由sinCADsinACD，可得CDAD，不妨设AD1，则CD，设ACx，由余弦定理可得cos，得x2.故由勾股定理的逆定理可得CDAD，所以sinCDB1.若选，(1)则易知ABC为正三角形，可得B.(2)因为ABC为正三角形，所以A，又sinCADsinACD，所以sinACD，所以ACD，所以CDAB，所以sinCDB1.8(2020威海模拟)在(2ab)sin A(2ba)sin B2csin C，acsin Aacos C，ABC的面积SABC(a2b2c2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，作为问题的条件，再解答这个问题在ABC中，角
15、A，B，C的对边分别是a，b，c，若c，且_，探究ABC的周长l是否存在最大值？若存在，求出l的最大值；若不存在，说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解若选，因为(2ab)sin A(2ba)sin B2csin C，所以由正弦定理可得(2ab)a(2ba)b2c2，即a2b2c2ab，所以cos C，因为C(0，)，所以C.又c，所以由正弦定理可得2，所以a2sin A，b2sin B，则labc2sin A2sin B2sin A2sinsin Acos A2sin，因为0A，所以22sin2.即ABC的周长l存在最大值，且最大值为2.若选，因为acsin Aacos C
16、，所以由正弦定理可得sin Asin Csin Asin Acos C，因为sin A0，所以sin Ccos C1，所以sin，又0C，故C，又c，所以由正弦定理可得2，所以a2sin A，b2sin B，则labc2sin A2sin B2sin A2sin3sin Acos A2sin，因为0A，所以22sin3，即ABC的周长l存在最大值，且最大值为3.若选，因为ABC的面积SABC(a2b2c2)，所以absin C(a2b2c2)，所以sin C，由余弦定理可得sin Ccos C，即tan C，又因为0C，故C，又c，所以由正弦定理可得2，所以a2sin A，b2sin B，则labc2sin A2sin B2sin A2sin2sin，因为0A，所以22sin3，即ABC的周长l存在最大值，且最大值为3.
