1、2015-2016学年甘肃省金昌市永昌一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上1已知a0，b1，那么下列不等式成立的是（）ABCD2如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=（）A14B21C28D353在ABC中，若a=2bsinA，则B为（）ABC或D或4在等差数列an中，a3=2，则an的前5项和为（）A6B10C16D325函数f（x）=12sin2（x）是（）A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的奇函数6等
2、比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log357在R上定义运算：ab=ab+2a+b，则满足x（x2）0的实数x的取值范围为（）A（0，2）B（2，1）C（，2）（1，+）D（1，2）8若函数，则f（x）的最大值是（）A1B2CD9不等式mx2+2mx42x2+4x解集为R，则实数m的取值范围是（）A（2，2B（2，2）C（，2）2，+）D（，2）10已知cos（）+sin=，则sin（+）的值是（）ABCD11在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A
3、=（）A30B60C120D15012已知数列an的通项公式为an=log2（nN*），设其前n项和为Sn，则使Sn5成立的自然数n（）A有最小值63B有最大值63C有最小值31D有最大值31二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13在ABC中，A=60，AC=2，BC=，则AB等于14数列an中，Sn是前n项和，若a1=1，an+1=（n1，nN），则an=15设sin2=sin，（，），则tan2的值是16若ABC的三内角A，B，C满足 sin A=2sinCcos B，则ABC为三角形三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知不等式ax2
4、3x+64的解集为x|x1或xb解不等式ax2（2a+b）x+2b018ABC中，D在边BC上，且BD=2，DC=1，B=60，ADC=150，求AC的长及ABC的面积19设函数f（x）=sin2xsinxcosx（0），且y=f（x）图象的一个对称中心到离它最近的对称轴的距离为（1）求的值；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值，并求取得最大值与最小值时相应的x的值20设数列an满足a1=0，且=1（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=，求bn的前n项和Sn21在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=（1）求
5、b的值； （2）求sin（2B）的值22设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前n项和Tn2015-2016学年甘肃省金昌市永昌一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上1已知a0，b1，那么下列不等式成立的是（）ABCD【考点】不等关系与不等式【分析】由0，b1结合不等式的性质可得0a且0，进而得到答案【解答】解：因为a0，b1，所以b21，所以0a因为a0，b1，所以0故
6、选D2如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=（）A14B21C28D35【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【分析】由等差数列的性质求解【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，a1+a2+a7=7a4=28故选C3在ABC中，若a=2bsinA，则B为（）ABC或D或【考点】正弦定理【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，即可确定出B的度数【解答】解：在ABC中， a=2bsinA，由正弦定理化简得： sinA=2sinBsinA，sinA0，sinB=，则B=或，故选：D4在等差数列an中，a3=2，则an的前5项
7、和为（）A6B10C16D32【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】直接利用等差数列求和公式求解即可【解答】解：等差数列an中，a3=2，S5=5a3=10故选：B5函数f（x）=12sin2（x）是（）A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的奇函数【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦；余弦函数的奇偶性【分析】化简函数是用一个角的一个三角函数的形式表示，然后求出周期，判断奇偶性【解答】解：函数=所以函数是最小正周期为的奇函数故选B6等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A
8、12B10C8D2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5答案可得【解答】解：a5a6=a4a7，a5a6+a4a7=2a5a6=18a5a6=9log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B7在R上定义运算：ab=ab+2a+b，则满足x（x2）0的实数x的取值范围为（）A（0，2）B（2，1）C（，2）（1，+）D（1，2）【考点】一元二次不
9、等式的解法【分析】根据规定的新定义运算法则先把不等式化简，然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可【解答】解：x（x2）=x（x2）+2x+x20，化简得x2+x20即（x1）（x+2）0，得到x10且x+20或x10且x+20，解出得2x1；解出得x1且x2无解2x1故选B8若函数，则f（x）的最大值是（）A1B2CD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】先对函数f（x）=（1+tanx）cosx进行化简，再根据x的范围求最大值【解答】解：f（x）=（1+tanx）cosx=cosx+sinx=2sin（x+）0x，x+f（x）1，2故选B9不等式mx2+2mx42x2+4x解
10、集为R，则实数m的取值范围是（）A（2，2B（2，2）C（，2）2，+）D（，2）【考点】一元二次不等式的应用【分析】先将原不等式整理成：（m2）x2+（2m4）x40当m=2时，不等式显然成立；当m2时，根据二次函数图象的性质得到m的取值范围两者取并集即可得到m的取值范围【解答】解：原不等式整理成：（m2）x2+（2m4）x40当m=2时，（m2）x2+（2m4）x4=40，不等式恒成立；设y=（m2）x2+（2m4）x4，当m2时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m20且0得到：，解得2m2综上得到2m2故选A10已知cos（）+sin=，则sin（+）的
11、值是（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用【分析】从表现形式上看不出条件和结论之间的关系，在这种情况下只有把式子左边分解再合并，约分整理，得到和要求结论只差的角的三角函数，通过用诱导公式，得出结论【解答】解：，故选C11在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A30B60C120D150【考点】余弦定理的应用【分析】先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A【解答】解：sinC=2sinB，c=2b，a2b2=bc，cosA=A是三角形的内角A=30故选A12已知数列an的通项公
12、式为an=log2（nN*），设其前n项和为Sn，则使Sn5成立的自然数n（）A有最小值63B有最大值63C有最小值31D有最大值31【考点】数列的求和【分析】先有an的通项公式和对数的运算性质，求出Sn，再把Sn5转化为关于n的不等式即可【解答】解：an=log2，Sn=a1+a2+a3+an=log2+log2+log2=log2=log2，又因为Sn5=log2n62，故使Sn5成立的正整数n有最小值：63故选 A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13在ABC中，A=60，AC=2，BC=，则AB等于【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以
13、及cosA的值代入即可求出AB的长【解答】解：在ABC中，A=60，AC=b=2，BC=a=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即3=4+c22c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：114数列an中，Sn是前n项和，若a1=1，an+1=（n1，nN），则an=【考点】数列递推式【分析】由题设条件可知a1=1，化简可得，4an=3an+1，即，由此可知答案【解答】解：a1=1，当n2时，Sn=3an+1，Sn1=3an，an=SnSn1=3an+13an，4an=3an+1，an=故答案：15设sin2=sin，（，），则tan2的值是【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基
14、本关系；二倍角的正切【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sin不为0求出cos的值，由的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，进而求出tan的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tan的值代入计算即可求出值【解答】解：sin2=2sincos=sin，（，），cos=，sin=，tan=，则tan2=故答案为：16若ABC的三内角A，B，C满足 sin A=2sinCcos B，则ABC为三角形【考点】三角形的形状判断【分析】由已知及正弦定理可得cosB=，结合余弦定理可得=，整理可得b=c，即可得解【解答】解：sinA=2sinCcosB，由正弦定理可
15、得：a=2ccosB，可得：cosB=，又由余弦定理可得：cosB=，=，整理可得：c2=b2，即b=c，ABC为等腰三角形故答案为：等腰三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb解不等式ax2（2a+b）x+2b0【考点】其他不等式的解法【分析】根据韦达定理求出a，b的值，把a，b的值代入不等式，解不等式即可【解答】解：由不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb，所以x1=1与x2=b是方程ax23x+2=0的两个实数根，b1且a0由根与系数的关系，得，解得a=1，b=2所以不等式ax2（2a+b）x+2
16、b0可化为x24x+40，即（x2）20，解集为18ABC中，D在边BC上，且BD=2，DC=1，B=60，ADC=150，求AC的长及ABC的面积【考点】三角形中的几何计算【分析】BAD=15060=90，可得 AD=2sin60=，余弦定理求出AC，利用直角三角形中的边角关系求出AB，利用ABBDsinB 求出ABC的面积【解答】解：在ABC中，BAD=15060=90，AD=2sin60=在ACD中，AC2=（）2+1221cos150=7，AC=AB=2cos60=1，SABC=13sin60=19设函数f（x）=sin2xsinxcosx（0），且y=f（x）图象的一个对称中心到离它
17、最近的对称轴的距离为（1）求的值；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值，并求取得最大值与最小值时相应的x的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x），由题意可得周期，利用周期公式即可求得的值（2）由（1）知f（x）=sin（2x），当时，可求2x，由正弦函数的图象和性质即可得解【解答】解：（1）f（x）=sin2xsinxcosx= =sin（2x），因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，可得周期T=，又0，因此=1（2）由（1）知f（x）=sin（2x），当时，2x，sin（2x），1，故
18、f（x）=sin（2x）在区间，上最大值和最小值分别为，1当2x，即x=时，f（x）取最大值，f（x）取最小值120设数列an满足a1=0，且=1（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=，求bn的前n项和Sn【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）判断数列是等差数列，求出通项公式，即可得到结果（2）化简bn=，然后利用裂项法求解数列的和即可【解答】解：（1）由题意知：数列公是首项为1，公差为1的等差数列，故所以（2），所以Sn=1+=1=21在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=（1）求b的值； （2）求sin
19、（2B）的值【考点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦定理【分析】（） 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（） 利用（）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值【解答】解：（）在ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1由余弦定理可知：b2=a2+c22accosB，即b2=32+1223cosB，可得b=（）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2
20、B1=，sin2B=2sinBcosB=，所以=22设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足=1，nN*，求bn的前n项和Tn【考点】数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和【分析】（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（）由（）知，an=2n1，继而可求得bn=，nN*，于是Tn=+，利用错位相减法即可求得Tn【解答】解：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，解得a1=1，d=2an=2n1，nN*（）由已知+=1，nN*，得：当n=1时， =，当n2时， =（1）（1）=，显然，n=1时符合=，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又Tn=+，Tn=+，两式相减得： Tn=+（+）=Tn=32016年10月14日
