1、课时作业56定点、定值、探究性问题1已知椭圆C：1(ab0)，右焦点F的坐标为(2,0)，且点(2，)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)过点F的直线交椭圆于A，B两点(直线不与x轴垂直)，已知点A与点P关于x轴对称，证明：直线PB恒过定点，并求出此定点坐标解：(1)由已知得解得椭圆C的标准方程1，椭圆C的离心率e.(2)证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，可设PB的直线方程为ykxm，联立方程整理得(2k21)x24kmx2m280，x1x2，x1x2，kAFkFB，整理得，2kx1x2(mk)(x1x2)4m0，2k(mk)4m0，解得m4k，PB的直
2、线方程为：ykx4kk(x4)，直线PB恒过定点(4,0)2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2F1F2，且|AF2|.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：ykxm与l1，l2分别交于M，N两点，求证：MF1N为定值解：(1)由AF2F1F2，|AF2|，得.又e，a2b2c2，所以a29，b28，故椭圆C的标准方程为1.(2)证明：由题意可知，l1的方程为x3，l2的方程为x3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(3，3km)，N(3,3km)，
3、所以(2，3km)，(4,3km)，所以8m29k2.联立得，得(9k28)x218kmx9m2720.因为直线l与椭圆C相切，所以(18km)24(9k28)(9m272)0，化简得m29k28.所以8m29k20，所以，故MF1N为定值.(注：可以先通过k0计算出此时MF1N，再验证一般性结论)3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求证：点(m，k)在定圆上解：(1)椭圆C的焦距为2c，由已知e，2b2，a2b2c2，得b1，a2，椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：设M(
4、x1，y1)，N(x2，y2)，联立得，(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4km4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2.由得0m2，0，得t1或tb0)的右焦点，点P(2，)在椭圆C上，且PFx轴(1)求椭圆C的方程(2)如图，过点F的直线l分别交椭圆C于A，B两点，交直线x
5、4于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否构成等差数列？请说明理由解：(1)因为点P(2，)在椭圆C上，且PFx轴，所以c2.设椭圆C的左焦点为E，则|EF|2c4，|PF|.在RtEFP中，|PE|2|PF|2|EF|218，所以|PE|3.所以2a|PE|PF|4，a2.b2a2c24，故椭圆C的方程为1.(2)由题意可设直线AB的方程为yk(x2)，令x4得y2k，点M的坐标为(4,2k)联立得(2k21)x28k2x8(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而k1，k2，k3k.因为直线AB的方程
6、为yk(x2)，所以y1k(x12)，y2k(x22)，所以k1k22k.将代入得k1k22k2k.又k3k，所以k1k22k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列6已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，点P为椭圆C上任意一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点.(1)求椭圆C的方程(2)若PB，PA分别交直线x1于M，N两点，过左焦点F作以线段MN为直径的圆的切线，切线长是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)设P点坐标为(x0，y0)，由题意知A(a,0)，B(a,0)，且1，则kPAkPB，即3a24b2，又因为椭圆C经过点，故1，由可知，b23，a24，故椭圆C的方程为1.(2)由(1)可知A(2,0)，B(2,0)，设kPAk(k0)由kkPB，得kPB，所以直线PB的方程为y(x2)，令x1，得y，故M.直线PA的方程为yk(x2)，令x1，得yk，故N(1，k)因为yMyNk0，所以以线段MN为直径的圆在x轴同侧设FT为圆的一条切线，切点为T，连接MT，NT，可知FTNFMT，故，|FT|2|FM|FN|k|，故|FT|，所以过左焦点F作以线段MN为直径的圆的切线，切线长为定值.
