1、第25课时 万有引力定律及应用(重点突破课)考点一 开普勒行星运动定律 课时跟踪检测考点二 万有引力定律 考点三 天体质量与密度的估算 考点四 与重力加速度有关的问题 返回考点一 开普勒行星运动定律全国高考大纲上没有开普勒行星运动规律，但高考对这部分内容常常考查。考查最多的是开普勒第三定律。难度中等偏下。开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个_上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的_开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的_的三次方跟它的_的二次方的比值都相等焦点面积半长轴公转周期返回典例(多选)(201
2、9武汉调研)水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”。已知地球的公转周期为 365 天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为 116 天，金星相邻两次凌日的时间间隔为 584天，则下列判断合理的是()A地球的公转周期大约是水星的 2 倍B地球的公转周期大约是金星的 1.6 倍C金星的轨道半径大约是水星的 3 倍D实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据返回解析 设水星、地球、金星的公转周期分别为 T 水、T 地和T 金，水星
3、两次凌日时间差为 t 水，金星两次凌日时间差为 t 金，由题意可知，2T水2T地 t 水2，2T金2T地 t 金2，解得 T 水88 天，T 金225 天，所以地球公转周期大约是水星公转周期的 4 倍，大约是金星公转周期的 1.6 倍，A 错误，B 正确；由开普勒第三定律可知，R金3T金2R水3T水2，解得R金R水3 2252882 3 6.53，C 错误；理论上发生凌日现象时，金星(或水星)、地球、太阳三者共线，如果金星(或水星)公转轨道与地球公转轨道存在一定夹角，此时并不能产生凌日现象，所以金星(或水星)相邻两次凌日的实际时间间隔应大于理论上的时间间隔，D 正确。答案 BD返回规律方法(1
4、)行星绕太阳的运动轨道通常按圆轨道处理。(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。(3)开普勒第三定律a3T2k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值不同。返回集训冲关 1(2016全国卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析：开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项 A 错误，B 正确
5、；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项 C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项 D 错误。答案：B 返回2火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积返回解析：火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A 项错误；由于火星和木星在不同的椭圆轨道上运行，速度大小变化，因此火星和木星的运行速度大小不一定相等，B 项错误；由开普勒第三定
6、律可知，T火2R火3T木2R木3k，T火2T木2R火3R木3，C 项正确；由于火星和木星在不同的椭圆轨道上运行，因此它们在近日点时的速度大小不相等，在近日点时12v 火t 与12v 木t不相等，D 项错误。答案：C 返回3(多选)(2017全国卷)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经 M、Q 到 N 的运动过程中()A从 P 到 M 所用的时间等于T04B从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大C从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小D从 M 到 N 阶段，万有引力对它先
7、做负功后做正功返回解析：在海王星从 P 到 Q 的运动过程中，由于万有引力与速度的夹角大于 90，因此万有引力做负功，根据动能定理可知，速率逐渐变小，C 项正确；海王星从 P 到 M 所用的时间小于从 M 到 Q所用的时间，因此从 P 到 M 所用的时间小于T04，A 项错误；由于海王星在运动过程中只受到万有引力的作用，万有引力做功不改变海王星的机械能，即从 Q 到 N 的运动过程中海王星的机械能守恒，B 项错误；从 M 到 Q 的运动过程中万有引力与速度的夹角大于 90，因此万有引力做负功，从 Q 到 N 的过程中，万有引力与速度的夹角小于 90，因此万有引力做正功，即海王星从 M 到 N的
8、过程中万有引力先做负功后做正功，D 项正确。答案：CD返回考点二 万有引力定律万有引力定律是自然界最普遍的一条定律，高考命题中虽然很少直接考查万有引力的计算，但万有引力定律(公式)是分析几乎所有天体运动类问题的根本依据，复习时应注重定律的理解及应用。返回1万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的成正比，与它们之间距离 r 的成反比。(2)公式：FGm1m2r2，其中 G Nm2/kg2，叫引力常量。(3)适用条件公式 FGm1m2r2 适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。当两物体为匀质球体或球壳时
9、，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r 为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，r 为两物体间的距离。乘积二次方6.671011返回2万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力 F 表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体随地球自转的向心力 F 向，如图所示。(1)在赤道上：GMmR2 mg1m2R。(2)在两极上：GMmR2 mg2。3经典时空观和相对论时空观(1)经典时空观物体的质量不随速度的变化而变化。同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果。适用条件：宏观物体、运动。(2)相对论时空观同一过程的位移和对应时间
10、在不同参考系中测量结果。相同低速不同返回典例 如图所示，有一个质量为 M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为R2的小球体，并在空腔中心放置一质量为 m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)()AGMmR2 B0C4GMmR2DGMm2R2返回解析 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对 m的吸引力等于完整大球体对 m 的吸引力与挖去小球体对 m 的吸引力之差，挖去的小球体球心与 m 重合，对 m 的万有引力为零，则剩余部分对 m 的万有引力等于完整大球体对 m 的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为R2的球，易知
11、其质量为18M，则剩余均匀球壳对 m 的万有引力为零，故剩余部分对 m 的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，FG18MmR22 GMm2R2，故 D 正确。答案 D返回规律方法(1)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即F0。(2)如图所示，在匀质球体内部距离球心 r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为 r 的同心球体(M)对它的引力，即 FGMmr2。(3)运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。返回1两个质量均匀的球形物体，两球心相距 r 时，它们之间的万有引力为 F
12、，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的万有引力为()A2F B4FC8FD16F解析：由 m4R33 知，两球的半径都加倍，它们的质量都变为原来的 8 倍，且两球心的距离也加倍，由万有引力定律得 FGm1m2r2，两物体间的万有引力变为原来的 16 倍，故 D 正确。答案：D 集训冲关 返回2(多选)用 m 表示地球通讯卫星(同步卫星)的质量，h 表示其离地面的高度，用 R 表示地球的半径，g 表示地球表面的重力加速度，表示地球自转的角速度。则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小为()AG MmRh2B mgR2Rh2Cm2(Rh)Dm3 R2g4解析：由万有引力定律得 FG
13、MmRh2，地球表面的重力加速度gGMR2，解得 F mgR2Rh2，万有引力充当向心力，有 Fm2(Rh)，解得 Fm3 R2g4，故 B、C、D 正确。答案：BCD返回3.如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度()A一直增大B一直减小C先增大后减小D先减小后增大解析：设地球的平均密度为，物体在隧道内部离地心的距离为 r，物体的质量为 m，则物体所受的万有引力 FG43r3mr243Gmr，物体的加速度 aFm43Gr，由题意可知 r 先减小后增大，故物体的加速度先减小后增大，选项 D 正确。答案
14、：D返回考点三 天体质量与密度的估算天体质量和密度的估算是高考考查的热点，题型一般为选择题，难度中等或中等偏上。只有中心天体的质量和密度才能估算，学生常因为混淆环绕天体和中心天体而失分，估算天体质量与密度常利用以下两条途径。返回1利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R 进行估算。(1)由 GMmR2 mg 得天体质量 MgR2G。(2)天体密度 MV M43R3 3g4GR。(3)GMgR2 称为黄金代换公式。返回2测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和半径 r 进行估算。(1)由 GMmr2 m42rT2 得天体的质量 M42r3GT2。(2)若已知天体的半径 R，则天体的密度 M
15、V M43R3 3r3GT2R3。(3)卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径R，则天体密度 3GT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。返回典例(多选)(2016海南高考)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是()A卫星的速度和角速度B卫星的质量和轨道半径C卫星的质量和角速度D卫星的运行周期和轨道半径返回解析 若已知线速度和角速度可以求出半径 rv，根据万有引力提供向心力，则有GMmr2mv2r，解得 M v3G，故选项
16、A 正确；由于卫星的质量 m 可约掉，故选项 B、C 错误；若已知卫星的运行周期和轨道半径，则GMmr2m2T2r，解得M42r3GT2，故选项 D 正确。答案 AD返回易错提醒(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，求出的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 rR；计算天体密度时，体积 V43R3 只能用天体半径 R。返回集训冲关 1假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为T，引力常量为 G。地球的密度为()A.3g0gGT
17、2g0 B.3g0GT2g0gC.3GT2D.3g0GT2g解析：物体在地球的两极时，mg0GMmR2，物体在赤道上时，mgm2T2RGMmR2，M43R3，解得地球的密度 3g0GT2g0g。故选项 B 正确，A、C、D 错误。答案：B返回2“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为 127 分钟。已知引力常量 G6.671011 Nm2/kg2，月球半径约为 1.74103km。利用以上数据计算月球的质量约为()A8.11010 kgB7.41013 kgC5.41019 kgD7.41022 kg解析：对“嫦娥一号”探月卫星，万
18、有引力提供其做圆周运动的向心力，则 G MmRh2m42T2(Rh)，得：M42GT2(Rh)3，代入数据可得：M7.41022 kg，D 正确。答案：D 返回3(2018全国卷)2018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253”，其自转周期 T5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 6.671011Nm2/kg2。以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为()A5109 kg/m3B51012 kg/m3C51015 kg/m3D51018 kg/m3解析：脉冲星自转，边缘物体 m 恰对星体无压力时万有引力提供向心力，
19、则有 GMmr2 mr42T2，又 M43r3，解得密度 3GT233.146.6710115.191032 kg/m351015 kg/m3，C 正确。答案：C返回考点四 与重力加速度有关的问题天体表面附近的重力加速度等于天体表面做抛体运动的加速度。此类问题可利用抛体运动规律求出重力加速度，再结合万有引力定律求天体的质量或密度。返回1在地球表面附近的重力加速度 g(不考虑地球自转)由 mgGMmR2，得 gGMR2。2在距地面高 h 处的重力加速度 g由 mg GMmRh2，得 g GMRh2所以 ggRh2R2。返回典例 若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率
20、平抛一物体，物体在行星和地球的水平方向上运动的距离之比为 2 7。已知该行星质量约为地球的7 倍，地球的半径为 R。由此可知，该行星的半径约为()A.12R B.72RC.2RD.72 R返回解析 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，即 xv0t，在竖直方向上做自由落体运动，即 h 12gt2，所以 xv02hg，两种情况下，物体抛出的速率相同、高度相同，所以g行g地x地2x行274，根据公式 GMmR2 mg，可得 gGMR2，故g行g地M行R行2M地R地274，解得 R 行2R，故 C 正确。答案 C返回规律方法地球表面的物体运动规律的迁移应用在地球上所有只在重力作用下的运动形式，
21、如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是重力加速度取值不同而已。返回集训冲关 1宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A0 BGMRh2C GMmRh2DGMh2解析：飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G MmRh2mg，得 gGMRh2，选项 B 正确。答案：B返回2科幻大片星际穿越是基于知名理论物理学家基普索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改
22、编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径 R 约为 45 km，质量 M 和半径 R 的关系满足MR c22G(其中 c3108 m/s，G 为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度为()A108 m/s2B1010 m/s2C1012 m/s2D1014 m/s2返回解析：黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为 m 的物体，有GMmR2 mg，又有MR c22G，联立解得 g c22R，代入数据得重力加速度为
23、 1012 m/s2，故选项 C 正确。答案：C 返回3据美国宇航局消息，在距离地球 40 光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星。假设某天我们可以穿越时空到达某一行星，测得以初速度 10 m/s 竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有 1 m，而其球体半径只有地球的一半，则行星的平均密度和地球的平均密度之比为(取地球表面的重力加速度为10 m/s2)()A52B25C110D101解析：根据 hv022g和 gGMR2，可得 MR2v022Gh，即 43R3R2v022Gh，行星平均密度 3v028GRh 1Rh，在地球表面以初速度 10 m/s 竖直上抛一个小球可到达的最大高度 h 地 v022g地5 m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为 101，选项 D 正确。答案：D 返回“课时跟踪检测”见“课时检测(二十五)”(单击进入电子文档)
