1、模块综合测试时间：90分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是(B)A任意mR，使函数f(x)x2mx(xR)都是奇函数B至少有一个实数x0，使得x0C全等的三角形必相似D存在一个负数x，使2解析：A中，命题是全称命题，且找不到m使f(x)是奇函数，故不合题意；B中，命题是特称命题，且任取一个非零常数代入，不难发现命题正确；C中，命题是省掉全称量词的全称命题，不合题意；D中，对于任意一个负数x，都有0D存在xR，x3x210解析：含有量词的命题的否定，一是要改变相应的量词，二是要否定结论3已知条件p：|x1|2，条
2、件q：x25x60，则p是q的(B)A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分又不必要条件解析：命题p：1x3，记Ax|1x3，命题q：1x6，记Bx|1x6，AB，p是q的充分不必要条件4设椭圆的标准方程为1，其焦点在x轴上，则k的取值范围是(A)A4k5B3k3D3k5k0，解得4k0，b0)，过双曲线P的右焦点，且倾斜角为的直线与双曲线P交于A，B两点，O是坐标原点，若AOBOAB，则双曲线P的离心率为(C)A. B.C. D.解析：由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和AOBOAB可知三角形AOB为等边三角形，即ctan，所以b2ac，由c2a2b2得c2a2ac，两
3、边同除以a2得e2e10，解得e或e(舍去)11已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，设动圆P的半径为r，则圆心P的轨迹方程是(B)A.1 B.1C.1 D.1解析：如图所示，由题意知|PB|r，圆P与圆A内切，圆A的半径为10，两圆的圆心距|PA|10r，即|PA|PB|10|AB|6，点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆2a10,2c|AB|6.a5，c3.b2a2c225916，即点P的轨迹方程为1.12已知椭圆M：1(ab0)的一个焦点为F(1,0)，离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P(t,0)使得APOBPO总成立(
4、O为坐标原点)，则t等于(B)A2B2C D.解析：由题意知c1，e，则a，故b1，故椭圆的方程为y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，当直线斜率不存在时，t可以为任意实数，当直线斜率存在时，可设直线方程为yk(x1)，联立方程组得(12k2)x24k2x2k220，x1x2，x1x2，使得APOBPO总成立，即使得PF为APB的平分线，即有直线PA和PB的斜率之和为0，即有0，由y1k(x11)，y2k(x21)，得2x1x2(t1)(x1x2)2t0，则(t1)2t0，化简可得t2.二、填空题(每小题5分，共20分)13命题p：mR，方程x2mx10有实数根，则“非p”
5、形式的命题是mR，方程x2mx10没有实数根，此命题是假命题(填“真”或“假”)解析：命题p为特称命题，所以綈p是全称命题，綈p是mR，方程x2mx10没有实数根m2或m2时，0，即该方程有实数根，所以p真，綈p假14设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x2y0上，则此椭圆的离心率为.解析：直线yx1与x2y0的交点为M，设yx1与1的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由点差法，可得，即a22b2，a2b2c2，a22c2，e.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)已知p：方程1所表示的曲线为焦点
6、在x轴上的椭圆；q：实数t满足不等式t2(a1)tat10.解得1t1.(2)p是q的充分不必要条件，t|1t1是不等式t2(a1)ta1时，不等式的解集为t|1t1.当a1时，不等式的解集为，不满足题意当a1时，不等式的解集为t|at1.18(12分)已知椭圆E1：1的焦点F1，F2在x轴上，且椭圆E1经过点P(m，2)(m0)，过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y24x交于A，B两点，当直线l过F2时，PF1Q的周长为20.(1)求m的值和E1的方程；(2)以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点，求出定点坐标，否则说明理由解：(1)由PF1Q的周长为20得4a20
7、，a5，即1.椭圆E1经过点P(m，2)(m0)，m5.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0，再设直线l的方程为x5n(y2)，联立直线与抛物线方程，得y24ny4(2n5)0，y1y24n，y1y24(2n5)，x1x24n24n10，x1x2(2n5)2，代入(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0，得4(1x)n2(4x204y8)n(x210x5y2)0，因此4(1x)0，4x204y80，x210x5y20，x1，y2，即以线段AB为直径的圆经过E2上一定点(1,2)19(12分)如右图，三棱柱ABCA
8、1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，如图因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示
9、的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则，即，可取n(，1，1)故cosn，.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.20(12分)设F1，F2分别是椭圆：1(ab0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|a.(1)求该椭圆的离心率(2)设点M(0，1)满足|MP|MQ|，求该椭圆的方程解：(1)直线PQ斜率为1，设直线l的方程为yxc，其中c.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P，Q两点坐标满足方程组
10、化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.所以|PQ|x2x1|a.得a，故a22b2，所以椭圆的离心率e.(2)设PQ的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|MP|MQ|得kMN1.即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆的方程为1.21(12分)如右图所示，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.(1)求证平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值解：(1)证明：由题设可得ABDCBD，从而ADDC，又ACD是直角三角
11、形，所以ADC90，如图所示，取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO，又由ABC是正三角形，所以BOAC，所以DOB为二面角DACB的平面角，在AOB中，BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90，所以平面ACD平面ABC.(2)由题设及(1)知OA，OB，OD两两垂直，所以以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0,0)，D(0,0,1)由题设知四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E
12、为DB的中点，得E.故(1,0,1)，(2,0,0)，(1，)，设n(x，y，z)是平面DAE的法向量，则即可取n.设m是平面AEC的法向量，则同理可取m(0，1，)，则cosnm所以二面角DAEC的余弦值为.22(12分)如图所示，已知椭圆C：y21的上、下顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且异于点A，B，直线AP，BP与直线l：y2分别交于点M，N.(1)设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证k1k2为定值；(2)求线段MN的长的最小值；(3)当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论解：(1)证明：A(0,1)，B(0，1)，令P(x0，y0)，则由题设可知x00，
13、直线AP的斜率k1，直线BP的斜率k2，又点P在椭圆上，y1(x00)，从而有k1k2为定值(2)由题设可以得到直线AP的方程为y1k1(x0)，直线BP的方程为y(1)k2(x0)，由由直线AP与直线l的交点为M，直线BP与直线l的交点为N.又k1k2，MN|4k1|24当且仅当|4k1|，即k1时取等号，故线段MN的长的最小值是4.(3)结论：以MN为直径的圆恒过定点(0，22)和(0，22)证明：设点Q(x，y)是以MN为直径的圆上的任意一点，则0，故有(y2)(y2)0，又k1k2，所以以MN为直径的圆的方程为x2(y2)212x0，令x0，解得y22，以MN为直径的圆恒过定点(0，22)和(0，22)