1、模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的()A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件D设a1，b2，则有ab，但a2ba2b2；设a2，b1，显然a2b2，但ab2ab.故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件2命题“x0，)，x3x0”的否定是()Ax(，0)，x3x0Bx(，0)，x3x0Cx00，)，xx00Dx00，)，xx00C原命题的否定为：x00，)，xx0b”与“acbc”不等价C“a2b20，则a，b全为0”
2、的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2b20”D一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真D否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D5已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()AB2CD2D法一：由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D法二：离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D6若函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为()A10B71C
3、15D22Bf(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0，得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.7已知椭圆1(ab0)的一个焦点是(，0)，且截直线x所得弦长为，则该椭圆的方程为()A1B1C1D1D由已知得c，直线x过椭圆的右焦点，且垂直于x轴，由可得y，截直线x所得弦长为，由得a26，b24.所求椭圆的方程为1.8函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()AabcBcbaCcab
4、DbcaC因为当x(，1)时，(x1)f(x)0，所以函数f(x)在(，1)上是单调递增函数，所以af(0)fb，又f(x)f(2x)，所以cf(3)f(1)，所以cf(1)f(0)a，所以ca0，b0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为()A(1, )B(，)C(1, D，)B双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为yx.由条件知，应有2，故e.10已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ()Ax1Bx1Cx2Dx2B易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为yx，即xy，代入y22px
5、得y22p2pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1.11若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0)B(，4C(0，)D4，)B由2xln xx2ax3，得a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，412设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3
6、,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(x)g(x)是奇函数又当x0，即f(x)g(x)0，所以F(x)f(x)g(x)在(，0)上是增函数，又g(3)g(3)0，故F(3)F(3)0.所以不等式f(x)g(x)0的解集为(，3)(0,3)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_3因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.14命题“x0R,2x3a
7、x090”为假命题，则实数a的取值范围是_2，2x0R,2x3ax090)，f(x)x3，函数f(x)x23x4ln x在(t，t1)上不单调，f(x)x30在(t，t1)上有解，0在(t，t1)上有解，x23x40在(t，t1)上有解，由x23x40得x1或x4(舍去)，1(t，t1)，t(0,1)，故实数t的取值范围是(0,1)16已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为_如图所示，在AFB中，|AB|10，|BF|8，cosABF，由余弦定理可得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|
8、BF|cosABF10064210836.|AF|6，BFA90.设F为椭圆右焦点，连接BF，AF.根据对称性，可得四边形AFBF是矩形，|BF|6，|FF|10，2a8614,2c10，则e.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知条件p：2x23x10，条件q：x2(2a1)xa(a1)0.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围解由2x23x10，得x1，命题p为.由x2(2a1)xa(a1)0，得axa1，命题q为x|axa1p对应的集合A，q对应的集合Bx|xa1或x0)上一点M(m,4)到其焦点的距离为5.(1)求
9、抛物线C的方程；(2)若过点M的双曲线1(a0，b0)的一个顶点为抛物线C的焦点，求该双曲线的渐近线方程解(1)由抛物线的定义可得45，解得p2，所以抛物线C的方程为x24y.(2)把M(m,4)代入x24y可得m4，所以M点的坐标为(4,4)，抛物线x24y的焦点为(0,1)，a1，双曲线的方程为y21(b0)，代入M(4,4)得b2，b，双曲线的渐近线方程为yx，即为yx.19(本小题满分12分)已知函数f(x)x(xa)ln x，其中a为常数(1)当a1时，求f(x)的极值；(2)若f(x)是区间内的单调函数，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)2x1(x0)，所以f(x)在区间
10、(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，于是f(x)有极小值f(1)0，无极大值(2)易知f(x)2xa在区间上单调递增，又由题意可得f(x)2xa0在上无解即f0或f(1)0，解得a1或a1，即a的取值范围为(，11，)20(本小题满分12分)如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？解设C点距D点x km，则BD40 km，AC(50x)km，BC
11、(km)又设总的水管费用为y元，依题意，得y3a(50x)5a(0x50)，则y3a，令y0，解得x30.当x0,30)时，y0，当x30时函数取得最小值，此时AC50x20(km)，即供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省21(本小题满分12分)已知函数f(x).(1)求曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程；(2)证明：当a1时，f(x)e0.解(1)f(x)，f(0)2.因此曲线yf(x)在(0，1)处的切线方程是2xy10.(2)证明：当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1.当x1时，g(x)1时，g(x)0，g
12、(x)单调递增所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.22(本小题满分12分)已知椭圆E：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线l与椭圆E交于C，D两点，求OAD与OAC的面积之差的绝对值的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意得2a4，即a2,2ca，即c1，又b2a2c2，b23.故椭圆E的方程为1.(2)设OAD的面积为S1，OAC的面积为S2，直线l的方程为xky1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由整理得(3k24)y26ky90，由根与系数关系可知y1y2，|S1S2|2|y1|y2|y1y2|.当k0时，|S1S2|0，当k0时，|S1S2|，当且仅当3|k|，即k时等号成立|S1S2|的最大值为.