1、1设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：a(bc)abac；(ab)ca(bc)；(ab)2|a|22|a|b|b|2；若ab0，则a0，b0.其中正确的有_个解析：由向量的数量积的性质知正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知不正确；由(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos|b|2知不正确；对于，ab|a|b|cos0，|a|0或|b|0或cos0.a0或b0或ab，故不正确答案：12已知a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b夹角为_解析：cos，.答案：3设a与b的模分别为4和3，夹角为60，则|ab|_.解析：|ab|.答案：4在边长为的等边三角形ABC中，设c，
2、a，b，则abbcca_.解析：abbccacos12033.答案：3一、填空题1已知|a|3，|b|4，a、b的夹角为120，则ab_.解析：ab|a|b|cos12034cos1206.答案：62若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_解析：设向量a与b的夹角为，由题意知(ab)a0，a2ab0，|a|2|a|b|cos0，12cos0，cos，又0，180，120.答案：1203设向量a，b，c满足abc0，且ab，|a|1，|b|2，则|c|2_.解析：abc0，c(ab)又ab，ab0.|c|2c2(ab)2a22abb25.答案：54如图所示的是正六边形P1P2
3、P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是_(只填序号)； ； .解析：利用向量的数量积的定义逐项计算根据正六边形的几何性质，得0，0，|cos|2，|2|cos|P1P2|2，经比较可知最大答案：5已知非零向量a，b，若(a2b)(a2b)，则_.解析：(a2b)(a2b)，(a2b)(a2b)0，a24b2，|a|2|b|，2.答案：26点O是ABC所在平面上一点，且满足，则点O是ABC的_解析：，()00OBAC.同理可得OABC，OCAB，故O为ABC的垂心答案：垂心7在ABC中，若()()0，则ABC的形状为_解析：()()|2|20，|，ABC为等腰三角形答案：等腰三角形8已知
4、a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_.解析：由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos，即23400，解得8或5.答案：8或5二、解答题9已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角解：根据|a|b|，有|a|2|b|2，又|b|ab|，得|b|2|a|22ab|b|2，ab|a|2.而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|a|.设a与ab的夹角为，则cos，0，18030.10若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足，求MB.解：如图所示()
5、()2222(2)2(2)2(3)22.11四边形ABCD中，a，b，c，d，且abbccdda，试问四边形ABCD是什么图形？解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：abcd0，ab(cd)，(ab)2(cd)2，即|a|22ab|b|2|c|22cd|d|2，由于abcd，|a|2|b|2|c|2|d|2.同理有|a|2|d|2|c|2|b|2. 由可得|a|c|，且|b|d|，即四边形ABCD的两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形另一方面，由abbc，有b(ac)0，而由平行四边形ABCD可得ac，代入上式得b(2a)0，即ab0，ab也即ABBC，综上所述，四边形ABCD是矩形
