1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第五章计 数 原 理1计 数 原 理新课程标准学业水平要求1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义2了解计数原理的简单应用1.通过本节课的学习，了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理(数学抽象)2利用分类加法计数原理与分步乘法计数原理结合树状图等分析和解决一些简单的应用问题(逻辑推理)必备知识自主学习导思1.两个计数原理是如何定义的？有什么不同？2两个计数原理可以解决什么样的问题？1.分类加法计数原理(1)定义完成一件事
2、，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称“加法原理”)(2)本质：就是将解决这类问题的所有方法求和(3)应用：解决“分类”问题，即完成一件事情可以分几类，各类含有几种方法，最后求得总的方法数对于分类求解的问题角度不同方法数是否相同？提示：不一定每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类，即做到不漏，任意不同类的两种方法是不同的方法，即不重2分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn
3、种不同的方法，那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称“乘法原理”)分步乘法计数原理有什么特点？提示：完成一件事需要经过n个步骤；完成每一步有若干种方法，且每一步对其他步没有影响；把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数()(2)某商业大楼有8个门供顾客出入，某顾客从任一门进入，从另一门走出的不同走法有15种()提示：(1).两个计数原理都是为了完成一件事，只不过完成的方式不一样，故正确；(2).完成进出门这件事情需分两步第一步，顾客进门，有8种选择；第二步，顾客
4、出门，有7种选择根据分步乘法计数原理，该顾客进出门的走法数为8756种，故错误2把3封信投到4个邮箱，所有可能的投法共有()A24种B4种C43种D34种【解析】选C.第一封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法3(教材例题改编)现有高一学生3名，高二学生5名，高三学生4名，从中任取1人参加社会公益活动，有_种不同的选法【解析】这个问题可以分三类，只要在高一、高二和高三的学生中任选1人都能完成这一事情应用分类加法计数原理可得不同的选法为35412种答案：12关键能力合作学习
5、类型一应用分类加法计数原理的简单计算(数学抽象、逻辑推理)1从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为()A24 B16 C13 D482若准备用1个字符给一本书编号，其中可用字符为字母A，B，C，也可用数字字符1，2，3，4，5，则不同的编号有()A2种 B5种 C8种 D15种3若x，yN，且xy6，求有序自然数对(x，y)的个数【解析】1.选C.由分类加法计数原理可得，从甲地到乙地无论哪种交通工具都能到达，故不同的走法有82313种2选C.由题意得这本书的编号可能是字母A，B，C，有3种，可能是数字1，2，3，4，5，有5种，共有358种3按x
6、的取值进行分类：当x1时y1，2，3，4，5，共构成5个有序自然数对；当x2时，y1，2，3，4共构成4个有序自然数对；当x5时，y1，共构成1个有序自然数对根据分类加法计数原理，共有5432115个有序自然数对 应用分类加法计数原理，要分清有哪几类，划分“类”时要不重不漏，同时必须要各类的每一种方法都保证事件的完成类型二应用分步乘法计数原理的简单计算(逻辑推理)【典例】有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加(1)若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？(2)若需要1名老师、1名学生参加，则有多少种不同的选法？【思路导引】(1)用分步乘法计数原理，求出
7、所有不同的选法；(2)将男生女生归为一类，再用分步乘法计数原理求出所有不同的选法即可【解析】(1)需要老师、男同学、女同学各1人，则分3步，第一步选老师，有3种不同的选法；第二步选男同学，有8种不同的选法；第三步选女同学，有5种不同的选法共有385120种不同的选法；(2)第一步选老师有3种不同的选法，第二步选学生有8513种不同的选法，共有31339种不同的选法 应用分步乘法计数原理时，要注意分成哪几步，每一步中有多少种方法，要做到不重不漏一把数字密码锁共有5个号码，每个号码的圆盘有0，1，2，9共10个数码，现给这把锁确定一个开锁的密码，有一个人在这把锁上随意拨出五位号码，它刚好能开启这把
8、锁的可能性是多大？【解析】方法一：把密码锁的5个号码顺序表示为第一、二、三、四、五位，“给定一个号码”这件事可以分成五个步骤来完成，即分别确定第一到第五位数字当且仅当这五个步骤都完成以后，这件事才算完成，这是分步问题，应该用分步乘法计数原理，而由题意可知，完成每一步都有10种方法共有1010101010105个号码，所以随意拨出一个号码，刚好能打开锁的可能性是，即十万分之一方法二：本题中各个数位上的数字可以不同，也可以相同，它可以看成是共有多少个“五位数”由于可以看成是00 000到99 999的整数的个数，所以共有99 99901105个所以随意拨出一个号码，刚好能打开锁的可能性是，即十万分
9、之一【拓展延伸】从集合的角度去看分类加法计数原理和分步乘法计数原理的意义与区别(1)完成一件事有A，B两类办法，即集合A，B互不相交，在A类办法中有m1种方法，在B类办法中有m2种方法，即card(A)m1，card(B)m2，那么完成这件事的不同方法种数是card(AB)card(A)card(B)m1m2.这就是当n2时的分类加法计数原理(2)完成一件事需要分成A，B两个步骤，在实行A步骤时有m1种方法，在实行B步骤时有m2种方法，即card(A)m1，card(B)m2，那么完成这件事的不同方法种数就是card(AB)card(A)card(B)m1m2.这就是当n2时的分步乘法计数原理
10、当n2时可类似得出【拓展训练】从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是()A7种B9种C12种D16种【解析】选C.根据题意分两步完成任务：第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数为3412种类型三两个计数原理的综合应用(逻辑推理)角度1 选(抽)取问题【典例】某校学生会由高一年级8人，高二年级10人，高三年级6人组成(1)选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会成员，有多少种不同的选法？【思路导引】(1)因为选
11、举1人为学生会主席可以从任何一个年级中选出，所以有三类办法可以完成又由于不论从哪一年级中选出的方法都是不同的，故这是一个分类加法计数的问题(2)每年级选1人为学生会成员是只有在三个年级都选出1人后，整个选举工作才算完成故这是一个分步乘法计数的问题【解析】(1)根据分类加法计数原理，选其中1人为学生会主席的选法有：N810624种(2)根据分步乘法计数原理，每一年级选1人为校学生会成员的选法有：M8106480种此题条件不变，所求改为“若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？”【解析】由于选出的两人需来自两个不同的年级，因此完成这项选举工作的办法可以分成三类：第一类在高一、
12、高二年级各选出1人；第二类在高二、高三两个年级各选出1人；第三类在高三、高一两个年级各选出1人；故选不同年级的两人参加市里组织活动的选法有：N81010668188种角度2 与组数有关的计数问题【典例】用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)银行存折的四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？【思路导引】(1)可以分步选取数字作四位密码的四个位置上的数字，且所取数字不能重复；(2)可以分步选取数字，分别作为千位数字、百位数字、十位数字和个位数字，且所取数字不能重复与(1)的不同之处是千位数字不能为0；(3)四位奇数的个位只能是1或3，因此符合条件的四位奇数可以分为个位数字
13、是1和个位数字是3的两类，每一类中再分步要注意千位数字不能取0，且所取数字不能重复【解析】(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N5432120个(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数
14、字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个做十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N443296个(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法：第一类办法是四位奇数的个位取数字为1，这件事可分三个步骤完成：第一步，从2，3，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第二步，从2，3，4中剩余的两个数字与0共三个数字中选取一个做百位数字，有3种不同的选取方法；第三步，从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方
15、法同分步乘法计数原理，第一类中的四位奇数共有N133218个第二类办法是四位奇数的个位取数字为3，这件事可分三个步骤完成：第一步，从1，2，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第二步，从1，2，4中剩余的两个数字与0共三个数字中选取一个做百位数字，有3种不同的选取方法；第三步，从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法同分步乘法计数原理，第二类中的四位奇数共有N233218个最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位奇数共有N181836(个). 1运用两个原理的关键在于正确区分“分类”与“分步”分类就是能“一步到位”，即任何一类中的任何一种方法都能独立完成这
16、件事；而分步只能是“局部到位”，即任何一步中的任何一种方法只能完成事情中的某一部分2对于组数问题的计数，一般按特殊位置(末位或首位)分类，每类中再分步计数，但是分类较多时，可用排除法先求出总数，再减去不符合条件的个数去计数角度3涂色与种植问题【典例】1.将3种作物种植在如图所示的5块实验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有_种(用数字作答)【思路导引】一块田、一块田去安排，考虑每块田的多种方法【解析】分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有安排b或c两种方法，不妨设放入b，第三块田也有两种方法安排a或c.(1
17、)若第三块田放c，则第四、五块田分别有2种放法，共22种方法(2)若第三块田放a，则第四块田仍有b或c两种放法若第四块田放c，则第五块田仍有2种方法若第四块田放b，则第五块田只能放c，共有3种方法综上，共有32(223)42种方法答案：422如图，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种色涂上，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有多少种不同的涂法？【思路导引】涂色要求相邻区域颜色不相同，所以若A有三种颜色可涂，则B有两种颜色可涂，C也有两种颜色可涂，D的可涂颜色与A，C是同色和异色有关【解析】涂色属于分步问题不妨从A开始涂起，A有三种颜色可涂，则B，C各有两种颜色可涂D的涂法根据A，C涂
18、色是否相同分类(1)若A，C涂色相同，则A，B，C，D可涂颜色的种数是3，2，1，2，共有321212种(2)若A，C涂色不相同，则A，B，C，D可涂颜色的种数是3，2，1，1，共有32116种所以共有12618种不同的涂法 1种植问题可以先分类再分步，也可以先分步再分类，哪种方案最佳应视条件而定，不管如何分，只要掌握计数原理的应用要领，就能够运用自如2给区域涂色问题，应该给区域标上相应的序号，以便分析问题在给各区域涂色时，要注意不同的涂色顺序对应不同的解题思路，因此，分析此类问题可按涂色顺序加以尝试，以最简单求法为主1现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名从中任选1人参加市团委组织的演
19、讲比赛，有多少种不同的选法()A60 B45 C30 D12【解析】选D.因为三个年级共有12名学生，由分类加法计数原理可得：从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，共有12种不同的选法2某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A180种 B360种 C720种 D960种【解析】选D.根据题意，车主第一个号码在数字3，5，6，8，9中选择，共5种选法，第二个号码
20、只能从字母B，C，D中选择，有3种选法，剩下的3个号码在1，3，6，9中选择，每个号码有4种选法，则共有44464种选法，则共有5364960种选法3现有5种不同的颜色，给四棱锥PABCD的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，一共有_种方法()A240 B360 C420 D480【解析】选C.当顶点A，C同色时：顶点P有5种颜色可供选择，点A有4种颜色可供选择，点B有3种颜色可供选择，此时C只能与A同色，1种颜色可选，点D就有3种颜色可选，共有54313180种；当顶点A，C不同色时：顶点P有5种颜色可供选择，点A有4种颜色可供选择，点B有3种颜色可供选择，此时C与A不同色，
21、2种颜色可选，点D就有2种颜色可选，共有54322240种；综上可得共有180240420种方法【补偿训练】由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位数中，相邻两个数字的差的绝对值不超过2的情况有_种(用数字作答)【解析】当个位数字为1时，符合的五位数是：54321，45321，53421，35421，54231，24531共6种；当个位数字为2时，符合的五位数是：54312，45312，13542共3种；当个位数字为3时，符合的五位数是：54213，12453共2种；当个位数字为4时，符合的五位数是：53124，12354，21354共3种；当个位数字为5时，符合的五位数是：12435，42
22、135，12345，21345，31245，13245共6种综上符合条件的共有20种答案：20 课堂检测素养达标1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取一本，不同的取法有()A6种 B5种 C11种 D30种【解析】选C.从书架上任取一本有两类取法：第一类办法就是从数学书中抽一本，共6种取法；第二类办法就是从语文书中抽一本，共5种取法，无论哪种方法都能完成拿书的事情，故不同的取法有6511种2将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有()A12种 B9种 C8种 D6种【解析】选C.每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步乘法
23、计数原理可知，不同的分配方案总数为238种3(教材练习改编)今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为()A15 B30 C6 D9【解析】选D.根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为339.4若将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到A，B两家医院(每人去一家，每家医院至少安排1人)，且甲医生不安排在A医院，则共有_种分配方案【解析】甲只能安排在B医院，乙、丙、丁3名医生共有2228种安排方法，其中乙、丙、丁3名医生都安排在B医院不合题意，所以符合题意的分配方案共有817种答案：75我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”则1，2，3，4四个数组成的两位数中，“和谐两位数”有_个【解析】当十位数取4时，个位可以是1，2，3，共三种情况；当十位数取3时，个位可以是1，2，共两种情况；当十位数取2时，个位可以是1，共一种情况；当十位数取1时，个位不存在，所以“和谐两位数”有6个答案：6关闭Word文档返回原板块- 13 - 版权所有高考资源网
