1、第31练 直线与圆锥曲线的综合问题专题7 解析几何本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精
2、练 栏目索引 1.(2015江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.体验高考 123解析答案(1)求椭圆的标准方程；解 由题意，得ca 22 且 ca2c 3，解得 a 2，c1，则 b1，所以椭圆的标准方程为x22y21.123解析答案(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|2|AB|，求直线AB的方程.解 由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，123由抛物线的定义得p21，即 p2.解析答案 2.(2016浙江
3、)如图，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1.(1)求p的值；123解析答案(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.所以椭圆 E 的方程是x24y21.3.(2016四川)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P3，12 在椭圆 E 上.(1)求椭圆 E 的方程；123解析答案 解 由已知，得a2b，又椭圆x2a2y2b21(ab0)过点 P3，12，故 34b214b21，解得 b21.(2)设不过原点
4、O 且斜率为12的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段AB 的中点为 M，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：|MA|MB|MC|MD|.123解析答案 返回 高考必会题型 题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用 例 1 设焦点在 x 轴上的椭圆 M 的方程为x24y2b21(b0)，其离心率为 22.(1)求椭圆 M 的方程；解析答案 解 因为椭圆 M 的离心率为 22，所以4b24222，得 b22.所以椭圆 M 的方程为x24y221.解析答案(2)若直线l过点P(0，4)，则直线l何时与椭圆M相交？点评 变式训练 1(2015安徽)设椭圆 E 的方程为x2a2
5、y2b21(ab0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(a，0)，点 B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|2|MA|，直线 OM 的斜率为 510.(1)求椭圆 E 的离心率 e；解析答案 解 由题设条件知，点 M 的坐标为23a，13b，又 kOM 510，从而 b2a 510，进而得 a 5b，ca2b22b，故 eca2 55.(2)设点 C 的坐标为(0，b)，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为72，求 E 的方程.解析答案 例 2 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)(c0
6、)，过点 E(a2c，0)的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且 F1AF2B，|F1A|2|F2B|.(1)求椭圆的离心率；解析答案 得|EF2|EF1|F2B|F1A|12，从而a2c ca2c c12，题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题 解 由F1AF2B，且|F1A|2|F2B|，整理，得 a23c2，故离心率 e 33.(2)求直线AB的斜率.解析答案 点评 变式训练 2 设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，过F1 且斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求椭圆 E 的离心率；解析答
7、案 返回 解析答案 由(1)知 x0 x1x22a2ca2b22c3，y0 x0cc3.(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求椭圆E的方程.解 设AB的中点为N(x0，y0)，由|PA|PB|，得 kPN1，即y01x0 1，得 c3，从而 a3 2，b3.故椭圆 E 的方程为x218y291.高考题型精练 解 椭圆 C 的标准方程为x23y21，1.(2015北京)已知椭圆C：x23y23，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；解析答案 所以 a 3，b1，c 2.所以椭圆 C 的离心率 eca 63.12
8、34所以直线 BM 的斜率 kBM2y1y1311.(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；解析答案 解 因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，y1)，直线AE的方程为y1(1y1)(x2)，令x3，得M(3，2y1)，1234(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.解析答案 12342.(2016课标全国甲)已知 A 是椭圆 E：x24y231 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN 的面积；解析答案 1234(2)当 2|AM|AN|时，证明：3k0)到直线
9、 l：xy20的距离为3 22.设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点.(1)求抛物线C的方程；解析答案 解 依题意知|c2|2 3 22，c0，解得 c1.所以抛物线C的方程为x24y.1234(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；解析答案 1234(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值.解析答案 123412344.已知椭圆 C1：y2a2x2b21(ab0)的右顶点为 A(1，0)，过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1.(1)求椭圆 C1 的方程；解析答案 解 由题意，得b1，2b2a 1，从而a2，b1.因此，椭圆 C1 的方程为y24x21.1234(2)设点P在抛物线C2：yx2h(hR)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.解析答案 返回 本课结束