1、提升考能、阶段验收专练卷(三)数列、不等式、推理与证明(时间：65分钟满分：104分).小题提速练(限时45分钟)(一)选择题(本大题共12小题，每小题5分)1若0，则下列结论不正确的是()Aa2b2Babb2Cab|ab|解析：选D0，ba0.a2b2，abb2，ab0，|a|b|ab|.2(2016山西山大附中月考)设等差数列an的前n项和为Sn，a2a46，则S5等于()A10 B12C15 D30解析：选C由等差中项可得a2a4a1a5，所以S515.3一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为()A1 B2C3 D4解析：选B由题意知an0，S45S2，
2、显然公比q1，且q0，所以，即q45q240，解得q24或q21(舍去)，又q0，所以q2.4等比数列an满足an0，nN*，且a3a2n322n(n2)，则当n1时，log2a1log2a2log2a2n1()An(2n1) B(n1)2Cn2 D(n1)2解析：选A由等比数列的性质，得a3a2n3a22n，从而得an2n.法一：log2a1log2a2log2a2n1log2(a1a2n1)(a2a2n2)(an1an1)anlog22n(2n1)n(2n1)法二：取n1，log2a1log221，而(11)24，(11)20，排除B，D；取n2，log2a1log2a2log2a3log
3、22log24log286，而224，排除C，选A.5若关于x的不等式x2ax6a0有解且解的区间长度不超过5个单位长度，则a的取值范围是()A25,1 B(，251，)C25,0)1,24) D25，24)(0,1解析：选D由x2ax6a0有解得a224a0，由解的区间长度不超过5个单位长度，得5，由得25a24或0a1.6若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B.C2 D.解析：选C由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.7(2016长春质量检测)若等差数列an前n
4、项和Sn有最大值，且1，则当Sn取最大值时，n的值为()A10 B11C12 D13解析：选B由等差数列的前n项和有最大值，可知d0，再由1，知a110，a120，从而使Sn取最大值的n11.8(2016兰州诊断)已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线ykx3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为()A3,3B.C(，33，)D.解析：选C满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示因为直线ykx3过定点(0，3)，所以当ykx3过点C(1,0)时，k3；当ykx3过点B(1,0)时，k3，所以k3或k3时，直线ykx3与平面区域D有公共点9已知数列an满足an1，且a1，则该数列的前2 016
5、项的和等于()A1 509 B3 018C1 512 D2 016解析：选C因为a1，又an1，所以a21，从而a3，a41，即得an故数列的前2 016项的和等于S2 0161 0081 512.10(2016上饶六校一联)观察下列各式： 2， 3，4，若9，则m()A80 B81C728 D729解析：选C由于2可改写为2； 3可改写为3； 4可改写为4，由此可归纳出： 9中，m9317291728.11已知函数f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0的解集是()A.B.C.D.解析：选A由f(x)0，得ax2(ab1)xb0，又其解集是(1
6、,3)，a0，且解得a1或a(舍去)，a1，b3，f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，得4x24x30，解得x，或x.12设点P(x，y)满足则的取值范围是()A. B.C. D1,1解析：选B不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，令t，则t，根据t的几何意义，t值为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，显然OA的斜率最小，OB的斜率最大，即t2.由于函数f(t)t在上单调递增，故f(t).所以的取值范围是.(二)填空题(本大题共4小题，每小题5分)13(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解析：an1Sn1Sn，an1Sn
7、Sn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.答案：14已知等差数列an中，有，则在等比数列bn中，会有类似的结论：_.解析：由等比数列的性质可知b1b30b2b29b11b20，.答案：15(2016济南实验中学调研)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第n个等式为_解析：观察这些等式，第一个等式左边1个数，从1开始；第二个等式左边3个数相加，从2开始；第三个等式左边5个数相加，从3开始；第n个等式左边是2n1个数相加，从n开始等式的右边为左边2n1个数的中间数的平方，故第n个等式为n(n1)(n
8、2)(3n2)(2n1)2.答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)216(2016洛阳一测)若关于x的不等式ax2|x|2a0的解集为空集，则实数a的取值范围为_解析：当a0时，不等式为|x|0，令t|x|，则原不等式等价于at2t2a0(t0)，所以a0的解集为(1,3)时，求实数a，b的值；(2)若对任意实数a，f(2)0，即3x2a(5a)xb0，3x2a(5a)xb0，解得或(2)f(2)0，即122a(5a)b0对任意实数a恒成立，1008(12b)0，b3)，Sn100，则n的值为()A8B9C10 D11解析：选C由SnSn351得，an2an1an51，所以an117，又
9、a23，Sn100，解得n10.2(2016邢台摸底)已知数列an为等比数列，a51，a981，则a7()A9或9 B9C27或27 D27解析：选B依题意得aa5a981，又注意到q20(其中q为公比)，因此a5，a7的符号相同，故a79，选B.3(2016郑州联考)已知a，b，cR，给出下列命题：若ab，则ac2bc2；若ab0，则2；若a|b|，则a2b2.其中真命题的个数为()A3 B2C1 D0解析：选C当c0时，ac2bc20，故为假命题；当a与b异号时，0，0，2，故为假命题；因为a|b|0，所以a2b2，故为真命题4(2016洛阳统考)设等比数列an的公比为q，则“0q1”是“
10、an是递减数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选Dan1ana1qna1qn1a1qn1(q1)，而a1的正负性未定，故无法判断数列an的单调性，因此“0q1”是“an是递减数列”的既不充分也不必要条件5(2016焦作一模)在正项等比数列an中，lg a3lg a6lg a96，则a1a11的值是()A10 000 B1 000C100 D10解析：选A正项等比数列an中，lg a3lg a6lg a96，由对数运算法则及等比数列的性质，有lg a3a6a96，a3a6a9106，a106，a6100，a1a11a100210 000.6(2015
11、秦岭一模)不等式|x22|2的解集是()A(1,1) B(2,2)C(1,0)(0,1) D(2,0)(0,2)解析：选D|x22|2，2x222，0x24.2x0或0x2.7(2015山西山大附中一模)数列an满足a11，且对于任意的nN*都有an1a1ann，则等于()A. B.C. D.解析：选B因为an1a1ann1ann，所以an1ann1，采用叠加法可得ana1(a2a1)(anan1)12n，所以2，所以212.8已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是()A2 B4C6 D8解析：选B(xy)1a1a2，当1a29时不等式恒成立，故13，a4.9已知x
12、，y，k满足且z2x4y的最小值为6，则常数k等于()A2 B9C3 D0解析：选D如图所示，当直线z2x4y经过两直线x3和xyk0的交点时，z有最小值6，所以6234y，y3，将x3，y3代入xyk0，得k0(经检验满足题意)10(2016洛阳统考)已知不等式组表示的平面区域的面积为2，则的最小值为()A. B.C2 D4解析：选B画出不等式组所表示的平面区域，由区域面积为2，可得m0.而1，表示可行域内任意一点与点(1，1)连线的斜率，的最小值为，的最小值是.11已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3
13、)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解析：选B依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到60，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个“整数对”是(5,7)12(2015南昌调研)已知等比数列an的前n项和为Sn，则下列说法中一定成立的是()A
14、若a30，则a2 0150，则a2 0140，则S2 0150 D若a40，则S2 0140解析：选C等比数列an的公比q0.对于A，若a30，则a1q20，所以a10，所以a2 015a1q2 0140，所以A不正确；对于B，若a40，则a1q30，所以a1q0，所以a2 014a1q2 0130，所以B不正确；对于C，若a30，则a10，所以当q1时，S2 0150，当q1时，S2 0150(1q与1q2 015同号)，所以C正确，同理可知D错误(二)填空题(本大题共4小题，每小题5分)13(2016南通一模)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中
15、，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的底面积之比为14，对应高之比为12，所以体积比为18.答案：1814(2016邵阳一模)设(1，2)，(a，1)，(b,0)(a0，b0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则的最小值是_解析：易知(a1,1)，(b1,2)因为A，B，C三点共线，所以2(a1)(b1)0，即2ab1.又a0，b0，所以(2ab)4448，当且仅当a，b时，等号成立答案：815某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2，
16、x(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是_台解析：由题意知3 00020x0.1x225x0，即0.1x25x3 0000，x250x30 0000，(x150)(x200)0.又x(0,240)，150x240，即生产者不亏本时的最低产量为150台答案：15016(2015杭州二检)若不等式(2)na3n1(2)n0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_解析：原不等式可转化为3(a1)(2)n3n.因为nN*，所以当n为奇数时，不等式可转化为3(1a)n，所以有3(1a)；当n为偶数时，不等式可转化为3(a1)n，所以3(a1)，得a.综上可知a.答案
17、：.大题规范练(限时20分钟)17（本小题满分12分）(2016贵州七校一联)已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn为数列an的前n项和，a1b11，且b3S336，b2S28(nN*)(1)求an和bn；(2)若anan1，求数列的前n项和Tn.解：(1)设的公差为d，的公比为q.由题意得解得或或(2)若anan1，由(1)知an2n1，Tn.18（本小题满分12分）已知f(x)x2pxq，其中p0，q0.(1)当pq时，证明：；(2)若f(x)0在区间(0,1)，(1,2)内各有一个根，求pq的取值范围；(3)设数列an的首项a11，前n项和Snf(n)，nN*，求数列an的通项公式解：(1)q，1，q1，pq0，0，即0，.(2)由题意得即又p0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示由线性规划的知识可知，1pq5.故pq的取值范围为(1,5)(3)由题意可知，Snf(n)n2pnq，nN*.当n1时，a1S11pq1，pq.当n2时，anSnSn1(n2pnp)(n1)2p(n1)p2np1，an
