1、2016年甘肃省白银市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1设集合A=x|x22x0，B=x|4x0，则ARB=（）ARBxR|X0Cx|0x2D2求z=的值为（）AiBiCD3如图，大正方形靶盘的边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影部分较短的直角边长为3，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（）ABCD4已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an的前10项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）5函数f（x）=2lnx的图象与函数g
2、（x）=x24x+5的图象的交点个数为（）A3B2C1D06如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A96BCD7已知双曲线的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）Ay2=1Bx2=1C=1D5x2=18某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）Aa=4Ba=5Ca=6Da=79四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A4B12C16D3210已知sin=，且（，），函数f（x）=sin（x+）（0）的图象的相邻两条
3、对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）ABCD11设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）AB2CD12已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（）Af（2a）f（3）f（log2a）Bf（3）f（log2a）f（2a）Cf（log2a）f（3）f（2a）Df（log2a）f（2a）f（3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在ABC中，|+|=|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则=14若实数x，y满足不等式组，则z=2y|x|的最小值是15若（4+
4、）n的展开式中各项系数之和为125，则展开式的常数项为16设a1=2，an+1=，bn=|，nN*，则数列bn的通项公式bn=三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，AB=1，（）求sinBAC；（）求DC的长18人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0，10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：幸福感指数0，2）2，4）4，6）6，8）8，10男居民人数
5、1020220125125女居民人数1010180175125根据表格，解答下面的问题：（）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）19如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，G分别为PC，CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD（）若F是PD的中点，求证：AP平面EFG；（）当二面角
6、GEFD的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值20已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围21设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3x23（1）讨论函数h（x）=的单调性；（）如果存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立，求满足上述条件的最大整数M；（）如果对任意的s，t，都有f（s）g（t）成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，在ABC中，CD是ACB的平
7、分线，ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC（）求证：BE=2AD；（）当AC=1，EC=2时，求AD的长选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=（）求圆C的极坐标方程；（）若0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|xa|+2|x+1|（1）当a=2时，解不等式f（x）4（2）若不等式f（x）3x+4的解集是x|x2，求a的值2016年甘肃省白银市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出
8、的四个选项中，只有一项符合题目要求）1设集合A=x|x22x0，B=x|4x0，则ARB=（）ARBxR|X0Cx|0x2D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可【解答】解：由A中的不等式解得：0x2，即A=x|0x2，B=x|4x0，RB=x|x4或x0，则A（RB）=x|0x2故选：C2求z=的值为（）AiBiCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求【解答】解：z=，则z的值为：i故选：A3如图，大正方形靶盘的边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即阴影
9、部分较短的直角边长为3，现向大正方形靶盘投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据题意，图中的直角三角形的斜边长为5且短直角边长为3，利用勾股定理算出长直角边长为4，从而得到小正方形的边长最后利用几何概型计算公式，用小正方形的面积除以大正方形的面积，即得所求概率【解答】解：大正方形靶盘的边长为5，即直角三角形的斜边等于5根据较短的直角边长为3，可得另一条直角边长为=4由此可得图中的小正方形的边长为43=1，阴影部分小正方形的面积为S=11=1大正方形的面积为S=55=25飞镖落在阴影区域的概率为P=故选：A4已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an
10、的前10项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）【考点】等比数列的前n项和【分析】由已知可知，数列an是以为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0数列an是以为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选C5函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x24x+5的图象的交点个数为（）A3B2C1D0【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x24x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合
11、思想，易得到答案【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x24x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选B6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A96BCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，圆锥的母线长为2几何体的平面部分面积为64222=964圆锥的侧面积为=4几何体的表面积为964+4故选：C7已知双曲线的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线
12、的离心率等于，则该双曲线的方程为（）Ay2=1Bx2=1C=1D5x2=1【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（1，0），从而得出双曲线的右焦点为F（1，0）再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），双曲线=1（a0，b0）的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，a=1，双曲线的离心率等于，e=，c=，b2=c2a2=4，x2=1，故选：B8某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）Aa=4Ba=5Ca=6Da=7【考点】程序框图【分析】根据已知
13、流程图可得程序的功能是计算S=1+的值，利用裂项相消法易得答案【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1+=1+1=2若该程序运行后输出的值是，则 2=a=4，故选A9四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A4B12C16D32【考点】球的体积和表面积【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，BCD的中心为G，作OGA
14、B交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R=2四面体ABCD外接球的表面积为：4R2=16故选：C10已知sin=，且（，），函数f（x）=sin（x+）（0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）ABCD【考点】正弦函数的图象【分析】由周期求出，由条件求出cos的值，从而求得f（）的值【解答】解：根据函数f（x）=sin（x+）（0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得=，=2由sin=，且（，），可得 cos=，则f（）=sin（+）=cos=，故选：B11设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）AB2CD【考点】双曲
15、线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b24a2=0，即，故选择C12已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（）Af（2a）f（3）f（log2a）Bf（3）f（log2a）f（2a）Cf（log2a）f（3）f（2a）Df（log2a）f（2a）f（3）【考点】抽象函数及其应用；导数的运算【分
16、析】由f（x）=f（4x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf（x）2f（x），可知f（x）在（，2）与（2，+）上的单调性，从而可得答案【解答】解：函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），f（x）关于直线x=2对称；又当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x）f（x）（x2）0，当x2时，f（x）0，f（x）在（2，+）上的单调递增；同理可得，当x2时，f（x）在（，2）单调递减；2a4，1log2a2，24log2a3，又42a16，f（log2a）=f（4log2a），f（x）在（2，+）上的单调递增；f（log2a）f（3）f（2a）故选C二、填空题（本
17、大题共4小题，每小题5分，共20分）13在ABC中，|+|=|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据题意，得到三角形为直角三角形，由、求出，即可求出的值【解答】解：由于在ABC中，|+|=|，则BAC=90，由于E，F为BC的三等分点，则=， =，又有=， =，则=， =，又由AB=2，AC=1，故=故答案为：14若实数x，y满足不等式组，则z=2y|x|的最小值是【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行判断即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2y|x|得y=|x|+z，
18、平移y=|x|+z，由图象知当y=|x|+z经过点A时， z最小，此时z最小，由得，即A（，0），此时z=|=，故答案为：15若（4+）n的展开式中各项系数之和为125，则展开式的常数项为48【考点】二项式定理的应用【分析】令x=1，可得的展开式中各项系数之和为5n=125，求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项【解答】解：令x=1，可得的展开式中各项系数之和为5n=125，所以n=3，则二项展开式的通项为Tr+1=xr=，令=0，得r=1，故二项展开式的常数项为42=48故答案为：4816设a1=2，an+1=，bn=|，nN*，则数列bn的通项公式bn=2n+1，nN*【考点】数列递推
19、式【分析】根据递推关系，分别求出b1，b2，b3，b4的值，由此猜想bn=2n+1，并用数学归纳法证明即可【解答】解：a1=2，an+1=，bn=|，nN，当n=1时，b1=4=22，a2=，当n=2时，b2=8=23，a3=，当n=3时，b3=|=16=24，a4=，则b3=32=24，由此猜想bn=2n+1，用数学归纳法证明，当n=1时，成立，假设当n=k时成立，即bk+1=2k+2，ak+1=，bk=|，bk+1=|=|=|=2bk=2k+2，故当n=k+1时猜想成立，由可知，bn=2n+1，nN*故答案为：2n+1，nN*三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证
20、明过程或演算步骤）17如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，AB=1，（）求sinBAC；（）求DC的长【考点】正弦定理【分析】（）由已知及余弦定理可求BC的值，利用正弦定理即可得解sinBAC的值（）由（）利用诱导公式可求cosCAD，从而利用同角三角函数基本关系式可求sinCAD，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinD的值，由正弦定理即可得解DC的值【解答】（本题满分为12分）解：（）在ABC中，由余弦定理得：AC2=BC2+BA22BCBAcosB，即BC2+BC6=0，解得：BC=2，或BC=3（舍），由正弦定理得：（）由（）有：，所以，由正弦定理得：（其他方法相应给分）18人们常
21、说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0，10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：幸福感指数0，2）2，4）4，6）6，8）8，10男居民人数1020220125125女居民人数1010180175125根据表格，解答下面的问题：（）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人
22、都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数【分析】（1）由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值（2）由已知条件得到X的可能取值为0，1，2，3，4，且XB（4，0.3），由此能求出X的分布列和期望【解答】（本小题满分12分）解：（1）频率分布直方图如右图所求的平均值为0.0121+0.01523+0.225+0.1527+0.12529=6.46（2）男居民幸福的概率为：=0.5女居民幸福的概率为：=0.6，故一对夫妻都幸福的概率为：0.50.6=0.3因此X的可能取值为0，1，2，
23、3，4，且XB（4，0.3）于是X的分布列为 X 0 1 2 34 p0.24010.4116 0.2646 0.07560.0081E（X）=np=40.3=1.219如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，G分别为PC，CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD（）若F是PD的中点，求证：AP平面EFG；（）当二面角GEFD的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定【分析】（）F是PD的中点时，推导出AB平面EFG，从而得到平面PAB平面EFG，由此能证明AP平
24、面EFG（）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出FG与平面PBC所成角的余弦值【解答】（）证明：F是PD的中点时，EFCDAB，EGPB，AB平面EFG，PB平面EFG，ABPB=B，平面PAB平面EFG，AP平面PAB，AP平面EFG（）解：建立如图所示的坐标系，则有G（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），设F（0，0，a），设平面EFG的法向量，则有，取z=1，得又平面EFD的法向量，二面角GEFD的大小为时，cos=，解得a=1，设平面PBC的法向量，则有，取q=1，得设FG与平面PBC所成角为，则有sin=|cos|=，cos=FG与平面PBC所成角的余
25、弦值为20已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（）由题意可求a，由=可求c，然后由b2=a2c2可求b，进而可求椭圆方程（）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m0），联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求y1+y2，由可得|NA|=|NB|，利用距离公式，结合方程的根与系数关系可得，结合二次函数的性质可求t的范围
26、【解答】解：（）抛物线y2=8x的焦点F（2，0）a=2=c=1b2=a2c2=3椭圆M的标准方程：（）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（mR，m0）联立方程可得（3m2+4）y2+6my9=0由韦达定理得|NA|=|NB|=将x1=my1+1，x2=my2+1代入上式整理得：，由y1y2知（m2+1）（y1+y2）+m（22t）=0，将代入得所以实数t21设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3x23（1）讨论函数h（x）=的单调性；（）如果存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立，求满足上述条件的最大整数M；（）如果对任意的s，t，都有f（s）g（t）
27、成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间；（）如果存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立，等价于：g（x1）g（x2）maxM，求出函数的最值，即可求满足条件的最大整数M；（）当x时，恒成立，等价于axx2lnx恒成立，求右边的最值，即可得到结论【解答】解：（），a0，h（x）0，函数h（x）在（0，+）上单调递增a0，函数h（x）的单调递增区间为，函数h（x）的单调递减区间为（）存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）M成立，等价于：g（x1）g（x2）ma
28、xM，考察g（x）=x3x23，x02g（x）00+g（x）3递减极（最）小值递增1由上表可知：，g（x1）g（x2）max=g（x）maxg（x）min=，所以满足条件的最大整数M=4；（）当x时，恒成立，等价于axx2lnx恒成立，记h（x）=xx2lnx，所以ahmax（x）又h（x）=12xlnxx，则h（1）=0记h（x）=（1x）2lnx，1x0，xlnx0，h（x）0即函数h（x）=xx2lnx在区间上递增，记h（x）=（1x）2lnx，x（1，2，1x0，xlnx0，h（x）0即函数h（x）=xx2lnx在区间（1，2上递减，x=1，h（x）取到极大值也是最大值h（1）=1a1
29、选修4-1：几何证明选讲22如图，在ABC中，CD是ACB的平分线，ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC（）求证：BE=2AD；（）当AC=1，EC=2时，求AD的长【考点】圆內接多边形的性质与判定【分析】（）利用圆的内接四边形得到三角形相似，进一步得到线段成比例，最后求出结果（）利用上步的结论和割线定理求出结果【解答】证明：（）连接DE，由于四边形DECA是圆的内接四边形，所以：BDE=BCAB是公共角，则：BDEBCA则：，又：AB=2AC所以：BE=2DE，CD是ACB的平分线，所以：AD=DE，则：BE=2AD（）由于AC=1，所以：AB=2AC=2利用割线定理得：BDAB=BEB
30、C，由于：BE=2AD，设AD=t，则：2（2t）=（2+2t）2t解得：t=，即AD的长为选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=（）求圆C的极坐标方程；（）若0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程【分析】（）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程（）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1t2|，化为关于的三角函数求解【解答】解：（）C（
31、，）的直角坐标为（1，1），圆C的直角坐标方程为（x1）2+（y1）2=3化为极坐标方程是22（cos+sin）1=0 （）将代入圆C的直角坐标方程（x1）2+（y1）2=3，得（1+tcos）2+（1+tsin）2=3，即t2+2t（cos+sin）1=0t1+t2=2（cos+sin），t1t2=1|AB|=|t1t2|=20，），20，），2|AB|2即弦长|AB|的取值范围是2，2）选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|xa|+2|x+1|（1）当a=2时，解不等式f（x）4（2）若不等式f（x）3x+4的解集是x|x2，求a的值【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）分类讨论
32、，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）由题意可得，x=2是方程f（x）=3x+4的解，即|2a|+6=6+4，求得a=6，或 a=2检验可得结论【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）4，即|x2|+2|x+1|4，或 ，或 解求得x，解求得x0，解求得x2，故原不等式的解集为x|x，或 x0（2）不等式f（x）3x+4，即|xa|+2|x+1|3x+4，不等式f（x）3x+4的解集是x|x2，故x=2是方程f（x）=3x+4的解，即|2a|+6=6+4，求得a=6，或 a=2当a=6时，求得f（x）3x+4的解集是x|x2，满足题意；当a=2时，求得f（x）3x+4的解集不是x|x2，不满足题意，故a=2应该舍去综上可得，a=62016年6月24日