1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系(1)直线与圆相交，有_公共点；(2)直线与圆相切，只有_公共点；(3)直线与圆相离，_公共点两个一个没有基础梳理2.直线与圆的位置关系的判断方法直线l：AxByC0(A，B不全为0)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判断方法有：(1)几何方法设圆心(a，b)到直线AxByC0的距离为d._直线与圆相交；_直线与圆相切；_直线与圆相离dr(2)代数方法由消元，得到的一元二次方程的判别式为，则_直线与圆相交；_直线与圆相切；_直线与圆相离0003.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为_、_、_、_、_.4.弦长问题圆
2、的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：r2_.外离外切相交内含内切22ab1.(必修2P103练习第2题改编)若直线axby1与圆x2y21相离，则点P(a，b)与圆的位置关系是_在圆内基础达标解析：由题意知圆心距d=1，则a2+b21，故点P在圆内221ab2.(2010四川)直线x2y50与圆x2y28相交于A、B两点，则|AB|_.2解析：圆心为(0,0)，半径为2 ，圆心到直线x-2y+5=0的距离为d=.由2+()2=(2 )2，得|AB|=2 .222|005|12|2AB55233.(2010江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有
3、且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_(13,13)解析：圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1，即1,所以c的取值范围是(-13,13)|13c4.(必修2P105练习第2题改编)若圆x2y2m(m0)与圆x2y26x8y110仅有两条公切线，则实数m的取值范围是_(1,121)解析：由题意知两圆相交，两圆的圆心分别为(0,0)，(-3,4)，故圆心距为5；两圆的半径分别为，6.于是有|-6|5+61m121.mmm5.已知M(x，y)|yxb，N(x，y)|y，若MN，则b的取值范围为_3,3 2解析：集合M是斜率为1，在y轴上的截距为
4、b的一组平行线，集合N是以原点为圆心，半径为3的圆在x轴上方的部分(包括与x轴的交点)，作出图形可知，当直线y=x+b过点A(3,0)时，b=-3；当直线与半圆相切时，由点到直线的距离公式得=3，即b=3 ，易知b0，故b=3 ，所以-3b3 .|2b222【例1】已知圆x2y26mx2(m1)y10m22m240(mR)(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离？分析：(1)用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求圆心坐标，消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小经典例题题型一 直线与圆的位置关系解：(1)证明：配方得(x3m)2
5、y(m1)225.设圆心为(x，y)，则消去m，得l：x3y30，则不论m为何值，圆心恒在直线l：x3y30上31xmym(2)设与l平行的直线是l1：x3yb0，则圆心到直线l1的距离为d.圆的半径为r5，当dr，即5 3br，即b5 3时，直线与圆相离|331|10mmb|3|10b1010101010(2010江西改编)直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是_变式113333解析：圆心的坐标为(2,3)，由|MN|2 ，得2 2 ，解得k.322|2|42 1kk 241k 33333若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点，则
6、实数m的取值范围是_.变式12(-，0)(10，+)解析：将圆x2y22x4y40化为标准方程，得(x1)2(y2)21，圆心为(1，2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d1，m10.22|3 1 42|34m|5|5m【例2】已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，试就m的取值讨论两圆的位置关系 分析：先把两圆的方程化为标准方程，再求两圆的圆心距d，判断d与Rr，Rr的关系题型二 圆与圆的位置关系解：圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24.两圆的圆心距C1C2，r13，r22.(1)当C1C2r1r2，
7、即5，解得m5或m2，故m5或m2时，两圆外切；2212mm 2212mm (2)当C1C2r1r2，即1，解得m2或m1，故m2或m1时，两圆内切；(3)当r1r2C1C2r1r2，即5m2或1mr1r2，即m2时，两圆外离；(5)当C1C2r1r2，即2m1时，两圆内含2212mm 【例3】已知圆M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A，B两点(1)若点Q的坐标为(1,0)，求切线QA、QB的方程；(2)求四边形QAMB的面积的最小值分析：(1)用待定系数法求切线方程；(2)用一个变量表示四边形QAMB的面积题型三 圆的切线及弦长问题解：(1)设过点Q的圆M的切线方
8、程为xmy1，则圆心M到切线的距离为1，1m或m0，切线QA、QB的方程分别为3x4y30和x1.(2)MAAQ，S四边形MAQBMAQAQA .四边形QAMB的面积的最小值为.|21|21mm4322MQMA21MQ 21MO 33如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线yx分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线yx分别相切于C、D两点.求圆M和圆N的方程.变式31解：由于M与BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为M的半径，则M在BOA的平分线上，同理，N也在BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为BOA的平分线M的坐标为(，1)，M到x轴的距离为1
9、，即M的半径为1，则M的方程为(x)2(y1)21.设N的半径为r，其与x轴的的切点为C，连接MA、NC，由RtOAMRtOCN可知，OMONMANC，即r3 ，则OC3，所以N的方程为(x3 )2(y3)29.3323r1r33.【例4】求过直线2xy40与圆x2y22x4y10的交点，且过原点的圆的方程分析：可用待定系数法，由两交点坐标和过原点的条件，求出待定系数，也可用圆系方程求经过两圆交点的圆的方程题型四 简单的圆系方程的应用解：方法一：由解得交点坐标分别为A(3,2)，B .设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意得解得D，E，F0.所求圆的方程为x2y2xy0.11 25 50
10、943201121122205555FDEFDEF 3217417432222410240 xyxyxy 方法二：设所求圆的方程为x2y22x4y1(2xy4)0，即x2y22(1)x(4)y(14)0.此圆过原点，140，即.所求圆的方程为x2y2xy0.1432174求过直线2xy40和圆x2y22x4y10的交点且面积最小的圆的方程变式41解：设所求圆的方程为x2y22x4y1(2xy4)0，即x2y22(1)x(4)y(14)0.当半径最小时，圆面积也最小，对左边配方，得x(1)222 .所以当时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为22.42y 5485454585135x65y45
11、错解 设所求直线l的斜率为k，方程为y5k(x3)，即kxy53k0.已知圆C的圆心(2,2)，r1，则圆心到l的距离为1，即|k3|，k26k9k21，解得k.所求直线方程为y5(x3)，即4x3y30.易错警示【例】求过A(3,5)且与圆C：x2y24x4y70相切的直线方程2|2253|1kkk 21k4343错解分析 过圆外一点的圆的切线有两条，若求出k值唯一，应补上与x轴垂直的那一条，错解中漏掉了斜率不存在的情况正解(1)若所求直线斜率存在，设其为k，方法同错解，得k，即方程为4x3y30；(2)若所求直线斜率不存在，则l的方程为x3，经验证其与圆C相切综上，所求切线方程为x3或4x3y30.43(2010山东)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为_知识准备：1.设圆心坐标(a,0)；2.由圆的半径、弦心距、半弦长的关系列方程来求a的值链接高考解析：设圆心为(a,0)，其中a0，则圆心到直线xy10的距离d.因为圆截直线所得的弦长为2 ，根据半弦长、半径、弦心距之间的关系有22(a1)2，即(a1)24，所以a3或a1(舍去)，半径r312，所以圆C的标准方程为(x3)2y24.|1|2a 2|1|2a
