1、高考资源网（）您身边的高考专家 1 版权所有高考资源网第三讲 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题1已知以 F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x 3y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 2B2 6C2 7D4 2解析：设椭圆方程为x2a2 y2a241，将 x 3y4 代入整理得：4(a23)y28 3(a24)y(16a2)(a24)0，由 0 可求 a 7，则 2a2 7.答案：C2(2009山东)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为()Ay24xBy28
2、xCy24xDy28x解析：y2ax 的焦点坐标为a4，0，过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y2xa4，令 x0 得：ya2.12|a|4|a|2 4，a264，a8.答案：B3已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上且|AK|2|AF|，则AFK 的面积为()A4 B8 C16 D32解析：抛物线 C：y28x 的焦点为 F(2，0)，准线为 x2，K(2,0)设 A(x0，y0),过 A 点向准线作垂线 AB，则 B(2，y0)|AK|2|AF|，又 AFABx0(2)x02，由 BK2AK2AB2，得 y20(x02)2，即 8x0(x02
3、)2，解得 A(2，4)，高考资源网（）您身边的高考专家 2 版权所有高考资源网AFK 的面积为12|KF|y0|12448，故选 B.答案：BA1B.2C.3D2解析：由 eca1b2a2 32 得 a2b，a 23c，b c3.由34x23y2c2ykxc，得(312k2)y26ckyk2c20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2 2ck14k2y1y2 k2c2312k2由AF3FB得 y13y2联立得 k 2.答案：B5(2010安徽蚌埠)若直线 ykx2 与双曲线 x2y26 的右支交于不同的两点，则 k的取值范围是()A.153，153B.0，153C.153，0
4、D.153，1解析：由ykx2，x2y26得(1k2)x24kx100，1k20，16k241k2100，x1x2 4k1k20，x1x2101k20，直线与双曲线右支有两个不同交点，解得 153 k0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A、B两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_.解析：设直线 AB 的方程为 yxp2，A(x1，y1)，B(x2，y2)把 yxp2代入 y22px 整理得xp222pxx23pxp24 0.则 x1x23p，|AB|x1x2p4p.由已知条件 4p8，p2.答案：2解析：由x2a2y2b21，xy10，消去 y 得：(a2b2)x22a2xa2
5、(1b2)0.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x2 2a2a2b2，x1x2a21b2a2b2，y11x1，y21x2，OP OQ，x1x2y1y20，x1x2(1x1)(1x2)0，2x1x2(x1x2)10，2a21b2a2b2 2a2a2b210，高考资源网（）您身边的高考专家 4 版权所有高考资源网a2b22a2b2，又ab0，1a2 1b22.答案：2答案：2三、解答题10在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22y21 有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分
6、别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量OP OQ 与AB共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知条件知直线 l 的方程为 ykx 2，代入椭圆方程得x22(kx 2)21.整理得12k2 x22 2kx10直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于8k2412k2 4k220，解得 k 22.即 k 的取值范围为，2222，.(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP OQ(x1x2，y1y2)，高考资源网（）您身边的高考专家 5 版权所有高考资源网由方程得 x1x2 4 2k12k2又 y1y2k(x1x2)2 2而 A(2,0),B(0,1)
7、，AB(2，1)所以OP+OQ 与AB共线等价于 x1x2 2(y1y2)，将代入上式，解得 k 22.由(1)知 k 22，故没有符合题意的常数 k.当 k0 时，可设 l 的方程 ykxm(k0)，联立方程组ykxm，x23y21，消去 y，整理得(13k2)x26kmx3(m21)0.直线 l 和椭圆 C 有两个不同的交点则 36k2m212(13k2)(m21)0，即 13k2m20.设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 x1，x2 是方程(13k2)x26kmx3(m21)0 的两根，x1x2 6km13k2，x1x23m2113k2.则 PQ 中点 N(x0，y0)的坐标为高
8、考资源网（）您身边的高考专家 6 版权所有高考资源网x0 x1x22 3km13k2，y0kx0mm13k2，即 N 3km13k2，m13k2.又|AP|AQ|，ANPQ，kkAN1，即 km13k213km13k21，m13k22，代入 13k2m20，得 13k213k2220(k0)，k21，k(1,0)(0,1)综合，得 k 的取值范围是(1,1)(1)若|k|2 6，求离心率 e 的取值范围；(2)若|k|2 6，并且弦 AB 的中点到右准线的距离为20033，求椭圆的方程解：(1)直线 l 的方程为 yk(xc)，则点 M(0，ck)点 B 分MF 的比 2，xB23c，yBkc3.4c29a2c2k29b21，k29b2c2 14c29a2 9a2c2c24a2c2a24e29e213.k224，4e437e290.解之14e21，也即12e1.(2)k2 6，e12.a2c，b 3c.高考资源网（）您身边的高考专家 7 版权所有高考资源网椭圆方程为 x24c2 y23c21.将直线y2 6(xc)代入椭圆方程得33x264cx28c20.由韦达定理得 x1x264c33，又右准线为 x4c，弦 AB 中点到右准线距离为 4cx1x22，故 4c3233c20033，解得 c2，从而 a4，b2 3.椭圆方程为x216y2121.
