1、2.3互斥事件填一填1.互斥事件(1)定义：在一个试验中，我们把一次试验下_的两个事件A与B称作互斥事件(2)规定：事件AB发生是指事件A和事件B_发生(3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(AB)_.(4)公式的推广：如果随机事件A1，A2，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1A2An)_.2对立事件(1)定义：在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作对立事件，事件A的对立事件记为.(2)性质：P(A)P()_，即P(A)1_.判一判1.对立事件一定是互斥事件()2A，B为两个事件，则P(AB)P(A)P(B)()
2、3若事件A，B，C两两互斥，则P(A)P(B)P(C)1.()4事件A，B满足P(A)P(B)1，则A，B是对立事件()5对互斥事件A与B，一定有P(A)P(B)1.()6若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件()7若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.()8互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件()想一想1.互斥事件、对立事件的判定方法是什么？提示：(1)利用基本概念互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生(2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.事件A与B互斥，即集合AB；事件A与B对立，即集合AB，且AB
3、I，即AIB或BIA.2事件间运算方法有哪些？提示：(1)利用事件间运算的定义列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算(2)利用Venn图借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算3解决复杂事件的概率问题的关键是什么？提示：(1)必须判断事件A，B是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式；(2)所求事件必须是几个互斥事件的和；(3)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求出时，可先转化为求其对立事件的概率4复杂的互斥事件概率的求法有几种？提示：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和
4、，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)1P()求解思考感悟练一练1给出如下三对事件：某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”其中属于互斥事件的个数为()A0 B1C2 D32某城市2019年的空气质量状况如表所示：污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻微污染该城市2019年空气质量达到良或
5、优的概率为()A. B.C. D.3抛掷一颗骰子，观察向上的点数下列每对事件相互对立的是()A“点数为2”与“点数为3”B“点数小于4”与“点数大于4”C“点数为奇数”与“点数为偶数”D“点数小于4”与“点数大于2”4甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是_.知识点一互斥事件和对立事件的判断1从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；至少有一个是奇数和两个数都是奇数；至少有一个是奇数和两个数都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数其中，为互斥事件的是()A B C D2某小组有3
6、名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”知识点二互斥事件与对立事件概率公式的应用3.在一次随机试验中，事件A1，A2，A3发生的概率分别为0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的是()AA1A2与A3是互斥事件，也是对立事件BA1A2A3是必然事件CP(A2A3)0.8D事件A1，A2，A3的关系不确定4若A，B是互斥事件，P(A)0.2，P(AB)0.5，
7、则P(B)()A0.3 B0.7C0.1 D1知识点三互斥、对立事件与古典概型的综合应用5.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.34，那么摸出黑球的概率是()A0.42 B0.28C0.36 D0.626甲、乙两人下棋，下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是()A甲获胜的概率是 B甲不输的概率是C乙输的概率是 D乙不输的概率是综合知识互斥事件7.盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，事件C“3个球中至少有1个红球”，事件D“
8、3个球中既有红球又有白球”(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么？8某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：年降水量(mm)0,200(200,250(250,300(300,350(350,400概率0.270.30.210.140.08求：(1)年降水量在(200,300(mm)范围内的概率；(2)年降水量在(250,400(mm)范围内的概率；(3)年降水量不大于350 mm的概率基础达标1对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A“两次都击中飞机”，B“两次都没击中飞机”，C“恰有一炮弹击中飞机”，D“至少有一炮弹击中飞机”，下列关系不正确
9、的是()AAD BBDCACD DABBD2抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)，P(B)，出现奇数点或2点的概率之和为()A. B.C. D.3某班有26名男同学，24名女同学，从中选取3名同学参加班级的常规管理，事件“至少有2名男同学当选”的对立事件是()A只有2名女同学当选B至多有2名男同学当选C至多有1名女同学当选D有2名或3名女同学当选4一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶 B两次都中靶C只有一次中靶 D两次都不中靶5下列四个命题：(1)对立事件一定是互斥事件；(2)A，B为两个事件
10、，则P(AB)P(A)P(B)；(3)若A，B，C三事件两两互斥，则P(A)P(B)P(C)1；(4)事件A，B满足P(A)P(B)1，则A，B是对立事件其中假命题的个数是()A0 B1C2 D36如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么()AAB是必然事件 B.是必然事件C.与一定互斥 D.与一定不互斥7若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)2a，P(B)4a5，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.8从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(AB)_.9如果事件A和B是互斥事件，且事件AB
11、的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件B的对立事件的概率为_10某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中不够7环的概率为_11A，B是两个随机事件，P(A)0.34，P(B)0.32，P(AB)0.31，则P(AB)_.12若A，B是互斥事件，则_正确(填序号)P(A)P(B)1；P(A)P(B)1；P(A)P(B)1.13某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮
12、料中选出3杯A饮料若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率14一个盒子中有10个完全相同的球，分别标有号码1,2，10，从中任取一球，求发生下列事件的概率：(1)A球的标号数不大于3；(2)B球的标号数是3的倍数；(3)C球的标号数是质数能力提升15.某医院派出医生下乡免费坐诊，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345概率0.10.16xy0.2z(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若派出医生不超过4人的概率为0.96，至少3人的概
13、率为0.44，求y，z的值16某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)23互斥事件一测基础过关填一填1(1)不能同时发生(2)至少有一个(3)P(A)P(B)(4)P(A1)P(A2)P(An)2(2)1P()判一判12
14、.3.4.5.6.7.8.练一练1C2.A3.C4.0.8二测考点落实1解析：由互斥事件的定义可知，只有的两个事件不会同时发生答案：C2解析：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件(4)“至少有1名
15、女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件3解析：比如在一个箱子中有白球，黄球和红球若干，从中任取一球，取到红球(记为事件A1)的概率为0.2，取到黄球(记为事件A2)的概率为0.3，取到黄球或红球(记为事件A3)的概率为0.5，显然A1A2与A3既不是互斥事件，更不是对立事件，故A错误；A1A2A3是“取到黄球或红球”，不是必然事件，故B错误；P(A2A3)P(A3)0.5，故C错误答案：D4解析：A，B是互斥事件，P(AB)P(A)P(B)0.5，P(A)0.2，P(B)0.50.20.3.故选A.答案：
16、A5解析：10.380.340.28.故选B.答案：B6解析：“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是1；设事件A为“甲不输”，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)(或设事件A为“甲不输”，则事件A是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)1)；乙输的概率即甲获胜的概率，为；乙不输的概率是.故选A.答案：A7解析：(1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球”，或“2个红球，1个白球”，故DAB.(2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球”，或“2个红球，1个白球”，或“3个均为红球”，故CAA.8解析：(1)设事件A“年降水量在(2
17、00,300(mm)范围内”它包含事件B“年降水量在(200,250(mm)范围内”和事件C“年降水量在(250,300(mm)范围内”两个事件因为B，C这两个事件不能同时发生，所以它们是互斥事件，所以P(A)P(BC)P(B)P(C)，由已知得P(B)0.3，P(C)0.21，所以P(A)0.30.210.51.即年降水量在(200,300(mm)范围内的概率为0.51.(2)设事件D“年降水量在(250,400(mm)范围内”，它包含事件C“年降水量在(250,300(mm)范围内”、事件E“年降水量在(300,350(mm)范围内”、事件F“年降水量在(350,400(mm)范围内”三个
18、事件，因为C，E，F这三个事件不能同时发生，所以它们彼此是互斥事件，所以P(D)P(CEF)P(C)P(E)P(F)，由已知得P(C)0.21，P(E)0.14，P(F)0.08，所以P(D)0.210.140.080.43.即年降水量在(250,400(mm)范围内的概率为0.43.(3)设事件G“年降水量不大于350 mm”，其对立事件是“年降水量在350 mm以上”，即事件F，所以P(G)1P(F)10.080.92.即年降水量不大于350 mm的概率为0.92.三测学业达标1解析：“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一炮弹击中”包含两种情况：一种
19、是恰有一炮弹击中，一种是两炮弹都击中，所以ABBD.答案：D2解析：记“出现奇数点或2点”为事件C，则CAB，因为事件A与事件B互斥，所以P(C)P(A)P(B).答案：D3解析：从中选取3名同学的结果分为一男二女、二男一女、三男、三女4种情形，事件“至少有2名男同学当选”是指“二男一女或者三男”，它的对立事件是“一男二女或者三女”，所以选择D.答案：D4解析：“至少有一次中靶”和“至多有一次中靶”能够同时发生，A错误；“两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，B错误；“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”能够同时发生，故C错误；“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”不能同时发生，故D正确
20、答案：D5解析：(1)对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件(2)只有当A，B互斥时，才有P(AB)P(A)P(B)(3)虽然A，B，C三个事件两两互斥，但其并事件不一定是必然事件(4)只有当A，B互斥，且满足P(A)P(B)1时，A，B才是对立事件故选D.答案：D6解析：用Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，是必然事件，故选B.答案：B7解析：由题意可知，即，即，解得a.答案：D8解析：事件A，B为互斥事件，可知P(A)，P(B)，所以P(AB)P(A)P(B).答案：9解析：根据题意有P(AB)P(A)P(B)4P(B)0.8，所以P(B)0.2，则事件B的对立事件的概率
21、为10.20.8.答案：0.810解析：设“不够7环”为事件C，“射中7环或8环或9环或10环”为事件D.则P(D)0.210.230.250.280.97，故P(C)1P(D)10.970.03.答案：0.0311解析：P(A)0.34，P(B)0.32，P(AB)0.31，P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.340.320.310.35.答案：0.3512解析：若A，B是互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)1，所以对错答案：13解析：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(
22、125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件则FDE.(1)P(D).(2)P(E)，P(F)P(D)P(E).14解析：(1)球的标号数不大于3包括三种情况，即球的标号数分别为1,2,3.则P(A)P(球的标号数为1)P(球的标号数为2)P(球的标号数为3).(2)球的标号数是3的倍数包括三种情况，即球的标号数为3,6,9.则P(B).(3)球的标号数为质数包括四种情况，即球的标号数为2,3,5,7.则P(C).15解析：(1)由派出医生不超过
23、2人的概率为0.56，得0.10.16x0.56，所以x0.3.(2)由派出医生不超过4人的概率为0.96，得0.96z1，所以z0.04.由派出医生至少3人的概率为0.44，得y0.2z0.44，所以y0.440.20.040.2.16解析：(1)由已知得，25y1055，xy35，所以x15，y20，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：1.9(分钟)(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”将频率视为概率，得P(A1)，P(A2)，P(A3).因为AA1A2A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
