1、第4 讲简单的线性规划1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线 l：AxByC0 把直角坐标平面分成三个部分：AxByC0直线 l 上的点(x，y)的坐标满足_；直线 l 一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足 AxByC0；直线 l 另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足 AxByC0.所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，计算 Ax0By0C 的值的正负，即可判断不等式表示的平面区
2、域(2)由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 AxByC 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由 Ax0By0C的符号即可判断不等式表示的平面区域名称意义目标函数欲求最大值或_的函数 zAxBy约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数可行解满足线性约束条件的解可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或_问题2线性规划相关概念最小
3、值最小值式组(含边界)：_.1写出能表示如图 6-4-1 所示的阴影部分的二元一次不等图 6-4-1x0，0y1，2xy202(2015 年广东深圳一模)已知实数 x，y 满足不等式组 xy3，x0，y0，则 2xy 的最大值为()A3 B4 C6 D9C解析：作出不等式组xy3，x0，y0所对应的可行域，变形目标函数 z2xy，得 y2xz.平移直线 y2x，可知：当直线经过点 A(3,0)时，z 取最大值，代值计算，得 z2xy的最大值为 6.3不等式组2xy60，xy30，y2所表示的平面区域的面积为_14若点(1,3)和点(4，2)在直线 2xym0 的两侧，则实数 m 的取值范围是_
4、5m10考点1 二元一次不等式(组)与平面区域 例1：设集合 A(x，y)|x，y,1xy 是三角形的三边长，则集合 A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()ABCD思维点拨：由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来确定二元一次不等式组，然后求可行域答案：A解析：由于 x，y,1xy 是三角形的三边长，故有xy1xy，x1xyy，y1xyx xy12，y12，x12.再分别在同一坐标系中作直线 x12，y12，xy12，故选 A.【规律方法】本题以三角形、集合为载体来考查线性规划问题，由于是选择题，只要找出正确的不等式组并作出相应的直线即可看出答案，这就是做选择题的特点.【互动探究】
5、1(2014 年安徽)不等式组xy20，x2y40，x3y20表示的平面区域的面积为_图D184 解析：不等式组表示的平面区域是如图 D18 所示的阴影部分,则其表示的面积 SACD=SABDSBCD=12221222=4.考点 2 线性规划中求目标函数的最值问题例 2：(2014 年广东)若变量 x，y 满足约束条件 x2y8，0 x4，0y3，则 z2xy 的最大值为()A7 B8 C10 D11解析：作出不等式组对应的平面区域如图D17.由 z2xy，得y2xz，平移直线y2xz，由图象知，当直线 y2xz 经过点 B(4,2)时，直线y2xz 的截距最大，此时z最大，此时 z24210
6、.故选 C.图 D17答案：C【规律方法】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：在平面直角坐标系内作出可行域；考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直 线，从而确定最优解；求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值【互动探究】2(2014 年北京)若 x，y 满足y1，xy10，xy10，则 z 3xy 的最小值为_1解析：画出不等式组表示的平面区域知，区域为三角形，平移直线z 3xy，得当直线经过两直线y1 与xy10的交点(0,1)时，z 取得最小值为 1.考点 3 线性规划在实际问题中的应用例 3：某家具厂有方木料 9
7、0 m，五合板 600 m，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1 m，五合板 2 m，生产一个书橱需要方木料 0.2 m，五合板 1 m，出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？如何安排生产可使所得利润最大？思维点拨：找出约束条件与目标函数，准确地作出可行域，再利用图形直观地求得满足题设的最优解解：(1)设只生产书桌 x 张，可获利润 z 元，则0.1x90，2x600，z80 xx900，x300 x300.当 x300 时，zmax8030024 000(元)即如果只安排生产
8、书桌，最多可生产 300 张书桌，可获利润 24 000 元(2)设只生产书橱 y 个，可获利润 z 元，则 0.2y90，1y600，z120yy450，y600y450.当 y450 时，zmax12045054 000(元)即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，可获利润 54 000 元(3)设生产书桌 x 张，生产书橱 y 个，可获总利润 z 元，则0.1x0.2y90，2xy600，x0，y0 x2y900，2xy600，x0，y0.z80 x120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 6-4-2.作直线 l：80 x120y0，即直线 2
9、x3y0.把直线 l 向右上方平移到 l1 的位置，直线 l1 经过可行域上的点 M，此时 z80 x120y 取得最大值由x2y900，2xy600，解得点 M 的坐标为(100,400)当 x100，y400 时，zmax8010012040056 000(元)图 6-4-2因此安排生产400 个书橱，100 张书桌，可获利润最大为56 000 元【规律方法】根据已知条件写出不等式组是解题的第一步；画出可行域是第二步；找出最优解是第三步.【互动探究】3(2013 年湖北)某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排900 名客人旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分
10、别为 1600 元/辆和 2400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为()A31 200 元C36 800 元B36 000 元D38 400 元答案：C解析：设分别租 A，B 两种型号的客车 x，y 辆依题意，有36x60y900，xy21，yx7，x，yN*.求 z1600 x2400y 的最小值作出不等式组所表示的平面区域，如图 D19.将点(5,12)代入 z1600 x2400y，得 z 的最小值为 36 800.图 D19思想与方法用数形结合的思想求非线性目标函数的最值例题：(1)(2013 年山东)在平面直角坐标系 xO
11、y 中，点 M 为不等式组2x3y60，xy20，y0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值为_解析：不等式组表示的区域如图 6-4-3，则|OM|的最小值就 是坐标原点 O 到直线 xy20 的距离，即 d0022 2.图 6-4-3答案：2(2)(2013 年大纲)记不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域为 D.若直线 ya(x1)与 D 有公共点，则 a 的取值范围是_解析：如图 6-4-4，由题意，得点 A(0,4)，C(1,1)且直线ya(x1)过点 B(1,0)，斜率 kBC12，kBA4，则 a 的最小值为12，最大值为 4.图 6-4-4答案：12，4【规律方法】用线性规划求最值时,要充分理解目标函数的 几何意义,只有把握好这一点,才能准确求解,常见的非线性目 标函数的几何意义如下：22xy表示点（x，y）与原点（0,0）的距离；22()()xayb表示点（x，y）与点（a，b）的距离；xy 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率值；ybxa表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率值
