1、17 柱、锥、台、球的体积(2)【自主学习】 1了解球的体积公式2理解球的面积公式及探求球面积的“积分”思想，通过“准锥体”的介绍，让学生体会“无穷”、“极限”的思想3初步了解本节中一系列公式推导的方法,体会祖暅原理和积分方法自我点击1一个底面半径和高都等于R的圆柱,挖去一个以其上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥后,所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等(有条件的可以做一个倒沙实验或倒水实验检验这一结果)由此得到:V球 = = , V球 = 2设想一个球由许多顶点在球心,底面都在球面上的“准锥体”组成，这些“准锥体”的底面并不是真正的多边形，但只要这些“准锥体”的底面足够地小，就可以
2、把它们近似地看成棱锥这些“准锥体”的高趋向于球半径R，底面积S1，S2，S3，的和趋向于球面积，所有这些“准锥体”的体积的和趋向于球的体积，因此 S球面 【范例解读】【例1】一个空心的钢球,外直径为12cm,壁厚02cm,问它在水中能浮起来吗 (钢的比重是78g/cm3) ?和它同样尺寸的空心铅球呢(铅的比重是114g/cm3) ?【解析】设“球环”的体积为V0, 钢球的体积为V,W为空心球的质量根据题意得V0=63-58328(cm)3,W钢球=2879=2212(g),V=63=288(cm)3,与钢球同体积的水的质量:W水=2881=288(g)，因为W钢球W水,所以空心钢球能在水中浮起
3、W铅球=28114=3192(g),因为W铅球W水,所以空心铅球不能在水中浮起【点评】 物理知识的渗透是本题的特色【例2】已知球的两个平行截面的面积分别为5cm2和8cm2,且截面位于球心的同一侧,它们相距1cm,求该球的球面面积【解析】画出球的轴截面 设圆O是球的大圆,A1B1、A2B2分别是两个平行截面圆的直径,过O作OC1A1B1于C1,交A2B2于C2A1B1A2B2 ,OC2A2B2由圆的性质可得, C1、C2分别是A1B1、A2B2的中点设两平行截面的半径分别为r1、r2，且r1r2，依题意得r125，r228r125， r228OA1和OA2都是球的半径R,OC1=, OC2=由
4、题意得 OC2 -OC1=1，解之得 R2=9，球面积S球=4R2=49=36cm2【点评】 若将本题中的条件“且截面位于球心的同一侧”去掉，其余条件不变，我们应该分类讨论来解决问题即分两平行截面在球心的同测和异侧两种情况来解【例3】圆台的内切球半径为R,且圆台的全面积和球面积之比为,求圆台的上、下底面半径r1、r2 【解析】【点评】若将此题改为“半径是R的球内切于圆台，圆台的母线和底面成角，求圆台的全面积和球面积之比”，你会采用类似的方法解决它吗？ 【自我检测】1两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是 .2如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为 .3一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为 .4已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S1、S2、S3，则它们之间的关系为 .
