1、第 2 讲一元二次不等式及其解法1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)(2)求出相应的一元二次方程的根(3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集判别式2b 4ac000)的图象2一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：x1,2b b24ac2a000(a0)x|xx2R2ax bxc0)x|
2、x1xx2_(续表)若 a0 时,可以先将二次项系数 a 化成正数,对照上表求解判别式b24ac一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相同实根 x1,2 b2axx b2a1(2015 年广东广州第一次调研)不等式 x22x31 Bx|x1 或 x2Cx|x1 Dx|x2，且 x1(1,3)B3下列四个不等式中，解集为 R 的是()Ax2x10 Bx22 5x 50Cx26x100 D2x23x40C4(2014 年四川)已知集合 Ax|(x1)(x2)0，集合 B)为整数集，则 AB(A1,0C2，1,0,1B0,1D1,0,1,2解析：Ax|1x2，集合B 为整数集，则AB 1,0,1
3、,2故选 D.D考点 1 解一元二次、分式不等式例1：(1)(2013 年广东)不等式 x2x20 的解集为_解析：x2x2(x2)(x1)0，2x1.答案：(2,1)(2)(2013 年上海)不等式x2x10 的解集为_解析：x2x10 x(2x1)0 的解集中的一个元素为 1，则实数 a 的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(，1)12，D.1，12 解析：不等式2x2axa20 的解集中的一个元素为1，则 有2aa20，即a2a20，解得1a2.故选 B.B考点 2 含参数不等式的解法例 2：解关于 x 的不等式：ax2(a1)x10.解：原不等式可化为(ax1)(x1)1；
4、(2)当 a0 时，x1；(3)当 a0 时，上面不等式可化为x1a(x1)0.当 0a1 时，1x1 时，1ax1.综上所述，当 a0 时，不等式的解集为xx1；当 a0 时，不等式的解集为xx1；当 0a1 时，不等式的解集为x1x1 时，不等式的解集为x1ax0，0，x2，x1x2，x14 的解集为x|xb(1)求 a，b 的值；(2)解不等式 ax2(acb)xbc4 的解集为x|xb，x11 与 x2b 是方程 ax23x20 的两个实数根，b1，且a0.由根与系数的关系，得1b3a，1b2a，解得a1，b2.(2)不等式 ax2(acb)xbc0，即 x2(2c)x2c0，即(x2
5、)(xc)2 时，不等式(x2)(xc)0 的解集为x|2xc；当 c2 时，不等式(x2)(xc)0 的解集为x|cx2；当 c2 时，不等式(x2)(xc)2 时，不等式 ax2(acb)xbc0 的解集为x|2xc；当 c2 时，不等式ax2(acb)xbc0 的解集为x|cx2；当 c2 时，不等式 ax2(acb)xbc0 的解集为.考点 3 一元二次不等式的应用例 3：(2014 年大纲)函数 f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若函数 f(x)在区间(1,2)上是增函数，求 a 的取值范围解：(1)f(x)3ax26x3，令 f(x)3ax26
6、x30，其判别式 36(1a)，当 a1 时,0,f(x)0 恒成立，故 f(x)在 R 上是增函数；由于 a0，当 a0，f(x)0 有两个根，即 x11 1aa，x21 1aa.当 0a1 时，函数 f(x)在区间，1 1aa和1 1aa，上单调递增，在区间1 1aa，1 1aa上单调递减；当 a0，x(1,2)时，f(x)3ax26x30 显然成立，所以函数 f(x)在区间(1,2)上是增函数；当 a0，a0，a0，0，x2，x1x2，x10 时，f(x)x24x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为_.解析：f(x)是定义在 R 上的奇函数f(x)x24x，x0，0，x0，x24x，x
7、0 时，f(x)x24xx，得 x5；当 x0 时，f(x)00，不成立；当 xx，x25x0，5x0 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)若对任意 a1,1，f(x)4 恒成立，求实数 x 的取值范围解：(1)若对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，即x22xax0，x1，)恒成立亦即 x22xa0，x1，)恒成立即 ax22x，x1，)恒成立即 a(x22x)max，x1，)又x22x(x1)21，当 x1 时，(x22x)max3，x1，)，a3.对任意 x1，)，f(x)0 恒成立，实数 a 的取值范围为a|a3(2)要使当 a1,1时，f(x)4 恒成立即x22xax4，x1，)恒成立x22xa0 对 a1,1恒成立把 g(a)a(x22x)看成 a 的一次函数，则使 g(a)0 对 a1,1恒成立的条件是g10，g10.即x22x10，x22x10.解得 x 21.又 x1，x 21.故所求 x 的取值范围是(21，)【规律方法】在含有多个变量的数学问题中，选准“主元”往往是解题的关键.即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.如第1小问中 x 为变量关于 x 的二次函数，a为参数.第2小问中 a 为变量关于 a 的一次函数，x 为参数.
