1、第十九讲 向量与圆锥曲线(二)【例5】设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.()若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;()设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.解:()解法一: 易知 ,所以,设,则因为,故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值-2当x=2,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1解法二:易知,所以,设,则(以下同解法一)()显然直线不满足题设条件,可设直线,联立,消去,整理得:由得:或又,又,即 故由、得或【例6】已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于B、D两点,过的直线交椭圆于A、
2、C两点,且,垂足为P. ()设P点的坐标为,证明:;()求四边形ABCD的面积的最小值。()证明: 椭圆的半焦距,由知点在以线段为直径的圆上,故,所以,()()当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得设,则:,;因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为所以,四边形ABCD的面积当k2=1时,上式取等号()当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4综上,四边形ABCD的面积的最小值为【例7】已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和DABC的面积S。由双曲线的定义可知,曲线是以为焦点的双曲
3、线的左支,且,易知,故曲线的方程为设,由方程组 消去,得又已知直线与双曲线左支交于两点,有 解得又 依题意得 整理后得 或 但 故直线的方程为设,由已知,得,又,点,将点的坐标代入曲线的方程,得 得,但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,点的坐标为,到的距离为 的面积.【例8】已知函数与的图象相交于,分别是的图象在两点的切线,分别是,与轴的交点(I)求的取值范围;(II)设为点的横坐标,当时,写出以为自变量的函数式,并求其定义域和值域;(III)试比较与的大小,并说明理由(是坐标原点)解:(I)由方程消得依题意,该方程有两个正实根,故 解得(II)由,求得切线的方程为,由,并令,得,是方
4、程的两实根,且,故,是关于的减函数,所以的取值范围是是关于的增函数,定义域为,所以值域为,(III)当时,由(II)可知类似可得由可知从而当时,有相同的结果所以自我提升1、平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中a,bR,且a+b=1,则点C的轨迹方程为( D )A 3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 D x+2y-5=02、已知是x,y轴正方向的单位向量,设=, =,且满足|+|=4.则点P(x,y)的轨迹是.( C )A椭圆B双曲线C线段D射线3、中心在原点,焦点在坐标为(0,5)的椭圆被直线3xy2=0截得的
5、弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为(C )4、直线y=kx+1与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是(A). A、m1且m5 B、m1 C、m5 D、m55、已知是x,y轴正方向的单位向量,设=, =,且满足|-|=2.则点P(x,y)的轨迹C的方程为_.( ).6已知A、B为抛物线x2=2py (p0)上两点,直线AB过焦点F,A、B在准线上的射影分别为C、D,则y轴上恒存在一点K,使得;存在实数l使得 ;若线段AB中点P在在准线上的射影为T,有。中说法正确的为_7.已知椭圆,过P(1,0)作直线 l,使得l与该椭圆交于A,B两点,l与y轴的交点为Q,且,求直线 l的方程。解:直线l过P(1,0)
6、,故可设方程为y=k(x-1), 因为,所以 AB的中点与 PQ的中点重合.由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以,又xP+xQ=1 故得,所求的直线方程为。8已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D,设f(m)=|AB|-|CD|,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。解:(1)椭圆中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=- (2)当m=5时, 当m=2时,