1、第十九讲 向量与圆锥曲线（二）【例5】设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.（）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.解：（）解法一： 易知 ，所以，设，则因为，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2当x=2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又，又，即 故由、得或【例6】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、
2、C两点，且，垂足为P. （）设P点的坐标为，证明：；（）求四边形ABCD的面积的最小值。（）证明: 椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则：，；因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为所以，四边形ABCD的面积当k2=1时，上式取等号（）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4综上，四边形ABCD的面积的最小值为【例7】已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和DABC的面积S。由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲
3、线的左支，且，易知，故曲线的方程为设，由方程组 消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得又 依题意得 整理后得 或 但 故直线的方程为设，由已知，得，又，点，将点的坐标代入曲线的方程，得 得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为，到的距离为 的面积.【例8】已知函数与的图象相交于，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点（I）求的取值范围；（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）解：（I）由方程消得依题意，该方程有两个正实根，故 解得（II）由，求得切线的方程为，由，并令，得，是方
4、程的两实根，且，故，是关于的减函数，所以的取值范围是是关于的增函数，定义域为，所以值域为，（III）当时，由（II）可知类似可得由可知从而当时，有相同的结果所以自我提升1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中a,bR，且a+b=1，则点C的轨迹方程为( D )A 3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 D x+2y-5=02、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4.则点P(x,y)的轨迹是.( C )A椭圆B双曲线C线段D射线3、中心在原点，焦点在坐标为(0，5)的椭圆被直线3xy2=0截得的
5、弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(C )4、直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（A）. A、m1且m5 B、m1 C、m5 D、m55、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|-|=2.则点P(x,y)的轨迹C的方程为_.( ).6已知A、B为抛物线x2=2py (p0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则y轴上恒存在一点K，使得；存在实数l使得 ；若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有。中说法正确的为_7.已知椭圆，过P(1,0)作直线 l，使得l与该椭圆交于A,B两点，l与y轴的交点为Q，且，求直线 l的方程。解：直线l过P(1,0)
6、，故可设方程为y=k(x-1)， 因为，所以 AB的中点与 PQ的中点重合.由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以，又xP+xQ=1 故得，所求的直线方程为。8已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D，设f(m)=|AB|-|CD|,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。解：（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=- （2）当m=5时， 当m=2时，