1、第二课时公理4及等角定理填一填1.公理4(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行(2)符号表述：ab，bcac.2两条直线的位置关系(1)共面直线平行直线：特征：在同一平面内没有公共点记法：直线m与直线n平行，记作mn.相交直线特征：在同一平面内有且只有一个公共点记法：直线m与直线n相交于点A，记作mnA.(2)异面直线：特征：不共面的两条直线，没有公共点3等角定理空间中，两个角的两条边分别对应平行，这两个角相等或互补4异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2结论这两条相交直线所成的锐角(或直角)即为异面直线a，b所成的角范
2、围记异面直线a与b所成的角为，则090特殊情况当90时，a与b互相垂直，记作ab.判一判1.空间中不相交的两条直线是异面直线()2两条异面直线所成的角一定是锐角()3和两条异面都相交的两直线必是异面直线()4如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直()5空间等角定理为定义异面直线所成的角提供了理论依据()6如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等()7对于直线a，b，c，若ab，bc，则ac.()8空间三条直线a，b，c，若a与b异面，b与c异面，则a与c异面()想一想1.空间中，没有公共点的两条直线一定平行吗？提示：不一
3、定，在平面内没有公共点的两条直线平行，在空间没有公共点的两条直线可能平行，也可能异面2证明两条直线平行的方法有哪些？提示：(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点3运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法是什么？提示：(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补4求两异面直线所成的角的三个步骤是什么？提示：(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所
4、成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角的范围是090.思考感悟：练一练1.空间任意两个角，且与的两边对应平行，60，则为()A60 B120C30 D60或120答案：D2如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A共面 B平行C异面 D平行或异面答案：D3如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AD1与A1C1所成角的大小是_答案：604设为两条异面直线所成的角，则满足()A090 B090C090 D0180答案：B5已知a，b，c是空间三条直线，则下列命题中正确命题的序号为_若a
5、b，bc，则ac若a，b相交，b，c相交，则a，c也相交若a，b平行，b，c平行，则a，c也平行答案：知识点一公理4及等角定理的应用1已知ABPQ，BCQR，若ABC30，则PQR等于()A30 B30或150C150 D以上结论都不对解析：由空间等角定理，可知PQR与ABC相等或互补，故PQR30或150.答案：B2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1及DD1的中点，证明：BGCFD1E.证明：因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1.所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形所以GC綊D1E，
6、GB綊D1F.又BGC与FD1E对应两边的方向相同，所以BGCFD1E.知识点二异面直线及所成的角3.如图，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF，求异面直线AD，BC所成角是()A30 B45C60 D120解析：如图，取BD的中点M，连接EM，FM.因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，则EMF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角因为ADBC2，所以EMMF1，在等腰MEF中，过点M作MHEF于H，在RtMHE中，EM1，EHEF，则sinEMH，于是EMH60，则EMF2EMH120.所以异面直线AD，BC所成的角为EMF的补角
7、，即异面直线AD，BC所成的角为60.故选C.答案：C4如图所示，已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角解析：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PMAB，且PMAB；PNCD，且PNCD，所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角所以PMN(或其补角)为AB与MN所成的角因为直线AB与CD成60角，所以MPN60或MPN120.又因为ABCD，所以PMPN，(1)若MPN60，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.(2)若MPN120，则易知PMN
8、是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上，直线AB与MN所成的角为60或30.综合知识公理4及等角定理5.如图，等腰直角三角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点求异面直线BE与CD所成角的余弦值解析：取AC的中点F，连接BF、EF，在ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，所以EFCD，所以BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)在RtEAB中，AB1，AEAD，所以BE.在RtAEF中，AFAC，AE，所以EF.在RtABF中，AB1，AF，所以BF.在等腰EBF中，cosFEB，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.6
9、在四棱锥ABCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BCDE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q.(1)求证：M，N，P，Q四点共面；(2)若ACDE，且ACBC，求异面直线DE与PN所成角的大小解析：(1)证明：CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，PQ为ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线PQDE，MNDE，PQMN，M，N，P，Q四点共面(2)PN为ABE的中位线，PNAB.又BCDE，ABC即异面直线DE与PN所成的角又ACDE，ACBC，在RtACB中，tanABC，ABC60.异面直线DE与PN所成的角为60.基础达标一、选择题1若a，b为异面直线，直
10、线ca，则c与b的位置关系是()A相交 B异面C平行 D异面或相交解析：由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交答案：D2.在三棱锥PABC中，PC与AB所成的角为70，E，F，G分别为PA，PB，AC的中点，则FEG等于()A20 B70C110 D70或110解析：因为E，F，G分别为PA，PB，AC的中点，所以EFAB，EGPC，所以FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角，又AB与PC所成的角为70，所以FEG为70或110.答案：D3一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是()A平行 B相交C异面 D相交或平行或异面解析：如图分别为相交、平行、异面
11、的情形答案：D4E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则EG与FH的位置关系是()A异面 B平行C相交 D重合解析：由题意画出图后，易得EG，FH是平行四边形EFGH的对角线答案：C5若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线不一定存在；过点P与l，m都异面的直线有无数条答案：B6.已知在正方体AB
12、CDA1B1C1D1中(如图所示)，l平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列结论一定不可能的是()Al与AD平行Bl与AB异面Cl与CD所成的角为30Dl与BD垂直解析：假设lAD，则由ADBCB1C1，可得lB1C1，这与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD不平行答案：A7.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为()A90 B60C45 D0解析：将三角形折成空间几何体，如图所示，HG与IJ是一对异面直线因为IJAD，HGDF，所以DF与AD
13、所成的角为HG与IJ所成的角，又ADF60，所以HG与IJ所成的角为60.答案：B二、填空题8已知BACB1A1C1，ABA1B1，则AC与A1C1的位置关系是_解析：如图所示，BACB1A1C1，ABA1B1，由图可知AC与A1C1可能平行、相交或异面答案：平行、相交或异面9.如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点(1)直线AB1和CC1所成的角为_；(2)直线AB1和EF所成的角为_解析：(1)因为BB1CC1，所以AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，AB1B45.(2)连接B1C，易得EFB1C，所以AB1C即为直线AB1和EF所成的角连接
14、AC，则AB1C为正三角形，所以AB1C60.答案：(1)45(2)6010在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若ACBD，且ACBD，则四边形EFGH的形状是_解析：如图，E，F，G，H分别为中点，所以EF綊AC，GH綊AC，所以EF綊GH，所以四边形EFGH为平行四边形又ACBD，所以FGGH.因为ACBD，所以FGGH，所以EFGH为正方形答案：正方形11.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD
15、1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确结论的序号都填上)解析：由异面的定义判断可知正确答案：12.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确结论的序号为_解析：还原成正方体如图所示，可知正确ABCM，不正确正确MNCD.不正确答案：三、解答题13.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，问(1)AM和CN是否是异面直线？(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解析：由于M，N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MNAC，因此AM与CN不是异面直
16、线由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法(1)不是异面直线理由：因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形所以A1C1AC，得到MNAC，所以A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内，则B平面CC1D1D，C平面CC1D1D.所以BC平面CC1D1D，这与ABCDA1B1C1D1 是正方体相矛盾所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线14已知点A是BCD所在平面外一点，ADBC，E，F分别是AB，CD的中
17、点，且EFAD，求异面直线AD和BC所成的角解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因E，F分别是AB，CD的中点，故EGBC，且EGBC，FGAD，且FGAD.由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD，BC所成的角，即EGF为所求的角由BCAD知EGGFAD，又EFAD，由勾股定理可得EGF90，即异面直线AD和BC所成的角为90.能力提升15.如图，在三棱锥ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AOOC，CACBCDBD2，ABAD，求异面直线AB与CD所成角的余弦值解析：取AC的中点M，连接OM，ME，OE，由E为BC的中点知MEAB，由O为BD中点知OE
18、DC，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在OME中，EMAB，OEDC1，因为OM是RtAOC斜边AC上的中线，所以OMAC1，取EM的中点H，连OH，则OHEM，在RtOEH中，所以cosOEM.16.如图，E，F，G，H分别是三棱锥ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且，.(1)若，判断四边形EFGH的形状；(2)若，判断四边形EFGH的形状；(3)若，且EGHF，求的值解析：(1)因为，所以EHBD，且EHBD.又因为.所以FGBD，且FGBD.又，所以EH綊FG(公理4)因此时，四边形EFGH为平行四边形(2)若，由，知EHFG，但EHFG，因为时，四边形EFGH为梯形(3)因为，所以四边形EFGH为平行四边形又因为EGHF，所以四边形EFGH为菱形所以FGHG.所以AC(1)HGHGFG，又BDFG3FG，所以.
