1、2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质知识导图学法指导1.线面垂直、面面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系，提供了它们之间相互转化的依据因此，在应用时要善于运用转化的思想2利用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是解题的关键3学习线面垂直的性质定理时，要注意区分与其相似的几个结论高考导航1.直线与平面垂直的性质定理较少单独考查，常与平行关系及面面垂直关系综合，以解答题的形式出现，分值57分2平面与平面垂直的性质定理常与推理、计算结合，考查空间想象能力和逻辑推理能力，以选择题或解答题的其中一问的形式出现，分值57分.知识点一直线与平面垂直的性质文字语言垂
2、直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言作用 线面垂直线线平行；作平行线1直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法2定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据知识点二平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言作用面面垂直线面垂直；作面的垂线对面面垂直的性质定理的理解1定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直2已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直小试身手1已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中
3、一定能推出m的是()A，且mBmn，且nC，且m Dmn，且n解析：m，故选B.答案：B2已知ABC和两条不同的直线l，m，lAB，lAC，mAC，mBC，则直线l，m的位置关系是()A平行 B异面C相交 D垂直解析：因为直线lAB，lAC，所以直线l平面ABC，同理直线m平面ABC，根据线面垂直的性质定理得lm.答案：A3.如图，BC是RtBAC的斜边，PA平面ABC，PDBC于点D，则图中直角三角形的个数是()A3 B5C6 D8解析：由PA平面ABC，知PAC，PAD，PAB均为直角三角形，又PDBC，PABC，PAPDP，BC平面PAD.ADBC，易知ADC，ADB，PDC，PDB均为
4、直角三角形又BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.答案：D4如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的_心解析：三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，易证投影是底面三角形的垂心答案：垂类型一线面垂直的性质定理的应用例1在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EFA1D，EFAC，求证：EFBD1.【证明】如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.ACA1C1，EFAC，EFA1C1.又EFA1D，A1DA1C1A1，EF平面A1C1D.BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，BB1A1C1
5、.四边形A1B1C1D1为正方形，A1C1B1D1，又B1D1BB1B1，A1C1平面BB1D1D，而BD1平面BB1D1D，A1C1BD1.同理DC1BD1.又DC1A1C1C1，BD1平面A1C1D.由可知EFBD1.方法归纳线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：(1)ab，bcac.(2)a，a，bab.(3)，a，bab.(4)a，bab.跟踪训练1如图，在ABC中，ABAC，E为BC的中点，AD平面ABC，D为FG的中点，且AFAG，EFEG.求证：BCFG.证明：连接DE，AE，因为AD平面ABC，所以ADBC.因为ABAC，E为BC的中点，所以A
6、EBC，又ADAEA，所以BC平面ADE.因为AFAG，D为FG的中点，所以ADFG，同理EDFG，又EDADD，所以FG平面ADE，所以BCFG.线面垂直的性质定理、公理4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行类型二面面垂直的性质定理的应用例2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1，求证：CF平面BDE.【证明】如图，设ACBDG，连接EG，FG.由AB易知CG1，则EFCGCE.又EFCG，所以四边形CEFG为菱形，所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又平面ACEF平
7、面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF，CF平面ACEF，所以BDCF.又BDEGG，所以CF平面BDE.方法归纳(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线(2)证明线面垂直的常用方法：线面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理；ab，ba.跟踪训练2在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.证明：如图所示，在平面PAB内作ADPB于点D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.PA平面ABC，BC平面ABC，
8、PABC.PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.类型三垂直关系的综合应用例3如图，在几何体ABCDPE中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PA2EB4.(1)证明：BD平面PEC；(2)若G为BC上的动点，求证：AEPG.【证明】(1)如图，连接AC交BD于点O，取PC的中点F，连接OF，EF.四边形ABCD为正方形，O为AC的中点，OFPA，且OFPA.EBPA，且EBPA，EBOF，且EBOF，四边形EBOF为平行四边形，EFBD.又EF平面PEC，BD平面PEC，BD平面PEC.(2)如图，连接PB，EBABAP90，EBABAP，PBAB
9、EA，PBABAEBEABAE90，PBAE.PA平面ABCD，PA平面APEB，平面ABCD平面APEB.BCAB，平面ABCD平面APEBAB，BC平面ABCD，BC平面APEB，BCAE.又BCPBB，BC平面PBC，PB平面PBC，AE平面PBC.G为BC上的动点，PG平面PBC，AEPG.(1)利用长度关系构造平行四边形，证出线线平行，进而得线面平行(2)利用垂直关系的相互转化证明线线垂直方法归纳空间线线垂直、线面垂直、面面垂直是重点考查的位置关系，证明时一般是已知垂直关系考虑性质定理，求证垂直关系考虑判定定理跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点，在ABC中，AB2，ACBC.等
10、边三角形ADB以AB为轴转动(1)当平面ADB平面ABC时，求CD；(2)当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论解析：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为ADB是等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC，CE平面ABC可知DECE.由已知可得DE，EC1.在RtDEC中，CD2.(2)当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD.证明：当D在平面ABC内时，因为ACBC，ADBD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD.当D不在平面ABC内时，由(1)知ABDE.又因ACBC，所以ABCE.又DECEE，所
11、以AB平面CDE.又CD平面CDE，得ABCD.综上所述，总有ABCD.(1)由面面垂直的性质得线面垂直，再求CD的长(2)当ADB转动时，分D在平面ABC内和外2类基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析：对于命题A，在平面内存在直线l平行于平面与平面的交线，则l平行于平面，故命题A正确对于命题B，若平面内存在直线垂直于平面，则平面与平面垂直，故命题B正
12、确对于命题C，设m，n，在平面内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使am，bn.，am，则a.al，同理有bl.又abP，a，b，l.故命题C正确对于命题D，设l，则l，l.故在内存在直线不垂直于平面，即命题D错误故选D.答案：D2直线a平面，b，则a与b的关系为()Aab，且a与b相交Bab，且a与b不相交Cab Da与b不一定垂直解析：b，b平行于内的某一条直线，设为b，a，且b，ab，ab，但a与b可能相交，也可能异面答案：C3已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是()A平行B异面C相交 D垂直解析：因为直线l垂直于直线AB和AC，所以
13、l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得lm.答案：A4已知平面，和直线m，l，则下列命题中正确的是()A若，m，lm，则lB若m，l，lm，则lC若，l，则lD若，m，l，lm，则l解析：A项中缺少了条件l，故A错误B项中缺少了条件，故B错误C项中缺少了条件m，lm，故C错误D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确答案：D5PO平面ABC，O为垂足，ACB90，BAC30，BC5，PAPBPC10，则PO的长等于()A5 B5C5 D20解析：PAPBPC，P在面ABC上的射影O为ABC的外心又ABC为直角三角形，O为斜边BA的中点在ABC中，BC
14、5，ACB90，BAC30，PO5.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则平行四边形ABCD一定是_解析：因为PA平面ABCD，所以PABD，又因为PCBD，所以BD平面PAC，又AC平面PAC，所以ACBD.答案：菱形7如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PAa，PBPDa，则它的五个面中，互相垂直的平面有_对解析：由勾股定理逆定理得PAAD，PAAB，PA面ABCD，PACD，PACB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论平面PAB平面PAD，平面PAB平面ABCD，平面PAB平
15、面PBC，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面PCD.答案：58如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90，F是AC的中点，E是PC上的点，且EFBC，则_.解析：在三棱锥PABC中，因为PA底面ABC，BAC90，所以AB平面APC.因为EF平面PAC，所以EFAB，因为EFBC，BCABB，所以EF底面ABC，所以PAEF，因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：(1)MNAD1；(2)M是AB的中点证明：
16、(1)因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.(2)连接ON，在A1DC中，A1OOD，A1NNC，所以ONCDAB.所以ONAM.又由(1)知MNOA，所以四边形AMNO为平行四边形所以ONAM.因为ONAB，所以AMAB.所以M是AB的中点10.如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是DAB60，且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.证明：(
17、1)如图所示，连接BD.因为四边形ABCD是菱形，且DAB60，所以ABD是正三角形，因为G是AD的中点，所以BGAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面ABCD.所以BG平面PAD.(2)连接PG.因为PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PGAD.由(1)知BGAD，而PGBGG，PG平面PBG，BG平面PBG，所以AD平面PBG.又因为PB平面PBG，所以ADPB.能力提升(20分钟，40分)112019南昌月考如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么点D在平面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析：在四
18、面体ABCD中，ABAC，BDAC，ABBDB，AC平面ABD，又AC平面ABC，平面ABC平面ABD，又平面ABC平面ABD直线AB，故点D在平面ABC上的射影H必在直线AB上答案：A12如图所示，三棱锥PABC的底面在平面上，且ACPC，平面PAC平面PBC，P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是_解析：因为平面PAC平面PBC，ACPC，AC平面PAC，平面PAC平面PBCPC.所以AC平面PBC.又BC平面PBC，所以ACBC，所以ACB90.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A，B两点)答案：以AB为直径的圆(除去A，B两点)13.如图，在四棱锥PABCD中，PA底
19、面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明：(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.14如图，直角ABC中，ACB90，
20、BC2AC4，D，E分别是AB，BC边的中点，沿DE将BDE折起至FDE，且CEF60.(1)求四棱锥FACED的体积；(2)求证：平面ADF平面ACF.解析：(1)D，E分别是AB，BC边的中点，DEAC且DEAC1，又ACBC，DEBC.依题意得，DEEF，BEEF2.于是DE平面CEF.DE平面ACED，平面ACED平面CEF.过F点作FMEC于M，则FM平面ACED，又CEF60，CEEF，CEF为正三角形，FM，梯形ACED的面积S(ACED)EC(21)23，四棱锥FACED的体积VSh3.(2)证法一如图，设线段AF，CF的中点分别为N，Q，连接DN，NQ，EQ，则NQAC，NQAC，又由(1)知DEAC且DEAC，DE綊NQ，四边形DEQN是平行四边形，DNEQ.由(1)知CEF是等边三角形，EQFC.由(1)知DE平面CEF，又EQ平面CEF，DEEQ，ACEQ.于是EQ平面ACF.DN平面ACF.又DN平面ADF，平面ADF平面ACF.证法二连接BF，由(1)知CEF是边长为2的等边三角形BEEF，CEF60，EBFCEF30，BFC90，即BFFC.又DE平面BCF，DEAC，AC平面BCF.BF平面BCF，ACBF.又FCACC，BF平面ACF.又BF平面ADF，平面ADF平面ACF.
