1、第34讲 平面向量的数量积及应用 第34讲 平面向量的数量积及应用 知识梳理 第34讲 知识梳理|a|b|cos|a|b|cos 0 1向量的数量积 (1)向量数量积的概念 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab_.规定，零向量与任一向量的数量积为_，即_ 0a0 第34讲 知识梳理|a|cos|b|cos 数量 (2)向量的投影 设两个非零向量a与b的夹角为，_称为向量a在b方向上的投影；_称为向量b在a方向上的投影 向量a在b方向上(或b在a方向上)的投影是一个_，不是向量，当090时，它是_；当90时，它是_；当90180时，它是
2、_图341表示b在a方向上的投影的三种情况：正数0 负数第34讲 知识梳理 第34讲 知识梳理 (3)向量数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与_的投影|b|cos的乘积 2向量数量积的性质 (1)向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数，则 交换律：_；数乘结合律：(a)b_(R)；分配律：(ab)c_.b在a方向上 abba (ab)a(b)acbc c(ab)第34讲 知识梳理 (2)向量数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，是a与e的夹角，则 eaae_；ab_；当a与b同向时，ab_；当a与b反向时，ab_，特别地，aa_或|a|_；cos_；|
3、ab|_|a|b|.|a|cos ab0|a|b|a|b|a|2 aa cos ab|a|b|第34讲 知识梳理 3向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 O Aa(x1，y1)，O Bb(x2，y2)，O A、O B间的夹角为 .ab_；|a|_；|A B|_(平面内两点间的距离公式)；cos _；ab_.x1x2y1y2 x21y21（x1x2）2（y1y2）2 ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22 x1x2y1y20 要点探究 探究点1 平面向量的数量积的概念及运算第34讲 要点探究 例 1 2010江西卷 已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，a 与 b 的夹角
4、为 60，则|ab|_.思路 直接应用向量数量积的定义，可求得 ab，再利用|a|aa即可求解 答案 3 第34讲 要点探究 解析 由向量数量积定义得，ab|a|b|cos6012121，则|ab|（ab）(ab)a22abb2 122122 3.第34讲 要点探究 点评 向量的数量积有两种计算方法：一是如果已知模与夹角，直接利用数量积的定义进行计算；二是如果给出向量的坐标表示，可利用 abx1x2y1y2计算，例如下面的变式 第34讲 要点探究(1)2010湖南卷 在 RtABC 中，C90，AC4，则ABAC等于()A16 B8 C8 D16(2)若ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1
5、，且 O AO BO C0，则 O AO B()A.12 B0 C1 D12 第34讲 要点探究 思路(1)把向量AB转化为ACCB，再利用向量数量积的性质计算(2)切入点是利用圆的性质求出向量 O A与 O B的夹角 答案 (1)C(2)D 第34讲 要点探究 解析(1)因为C90，所以ACCB0，所以ABAC(ACCB)AC(AC)2ACCB16，故选 D.(2)由 O AOBOC0，得 O AOBOC.设 O AOBOD，则 O C与 O D是相反向量，点 D 在圆上，且四边形 OADB 是菱形，如图，知AOB120.O AO B|O A|O B|cos12012，故选 D.第34讲 要
6、点探究 探究点2 平面向量的夹角问题第34讲 要点探究 例 2(1)2010湖南卷 若非零向量 a，b 满足|a|b|，(2ab)b0，则 a 与 b 的夹角为()A30 B60 C120 D150(2)设不共线的两个非零向量 a(x,2x)，b(3x,2)，且 a，b 的夹角为钝角，求 x 的取值范围 第34讲 要点探究 思路 第(1)小题由夹角公式 cosa，bab|a|b|可知，要求两个向量夹角必须求出数量积ab 及两向量模的积|a|b|，本题的切入点是由条件(2ab)b0 得出数量积与模的关系，进而求出比值，从而得解；第(2)小题利用向量数量积及夹角公式求取值范围 答案 C 第34讲
7、要点探究 解析 由(2ab)b0 得 2abb20，即 ab12|b|2.又 cosa，b ab|a|b|12|b|2|a|b|12，0a，b180，a 与 b 的夹角为 120，故选 C.第34讲 要点探究(2)解答 a 与 b 的夹角是钝角，abx(3x)2x20，即3x24x0，解得 x0 或 x43.又由 a 与 b 不共线可得 x0，且 x13，x 的取值范围是，13 13，0 43，.第34讲 要点探究 点评 利用向量夹角公式时，不一定非得算出|a|，|b|，和 ab 的值，只要能得出它们的关系也可以求出比值；求角时，注意向量夹角的取值范围是0，；第(2)小题不包含共线的情况，也可
8、以先求出 cos 1 和 cos 1 时对应的 x 的值，然后舍去即可；另外，若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式 cosa，bx1x2y1y2x21y21 x22y22求解，如下面变式 第34讲 要点探究(1)2010课标全国卷 a，b 为平面向量，已知 a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于()A.865 B 865 C.1665 D1665(2)已知|a|2|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有实根，则 a 与 b 的夹角 的取值范围是()A.0，6 B.3，C.3，23 D.6，第34讲 要点探究 思路(1)由已知 a,2ab 的坐标，从方程的
9、角度直接求出 b 的坐标，也可以设 b(x，y)，利用两向量相等的条件，求出 b 的坐标，再利用两向量夹角的坐标公式求解(2)要求两向量夹角 的取值范围，可先求 cos 的取值范围 答案 (1)C(2)B 第34讲 要点探究 解析(1)已知 a(4,3)，2ab(3,18)，所以 b(3,18)2a(3,18)(8,6)(5,12)，所以 cosa，b ab|a|b|453125131665，故选 C.(2)由关于 x 的方程 x2|a|xab0 有实根，得|a|24ab0，而 ab|a|b|cos，cos 14|a|212|a|212，又 0，3，.探究点3 平面向量垂直、平行问题第34讲
10、要点探究 思路 要求 的值，必须找到关于 的关系式，切入点是由两向量垂直的充要条件，得其数量积为0，转化为方程求解 例 3 已知 a(3,2)，b(1,0)，向量 ab 与 a2b 垂直，则实数 的值为()A17 B.17 C16 D.16 答案 A 第34讲 要点探究 解析 a(3,2)，b(1,0)，ab(3 1,2)，a2b(1,2)向量 ab 与 a2b 垂直，故有(3 1,2)(1,2)0，即 3 14 0，解得 17，故选 A.第34讲 要点探究(1)2010浙江卷 已知平面向量 ，|1，|2，(2)，则|2|的值是_(2)已知 O，N，P 在ABC 所在平面内，且|OA|OB|O
11、C|，NANBNC0，且PAPBPBPCP CP A，则点 O，N，P 依次是ABC 的()A重心，外心，垂心 B重心，外心，内心 C外心，重心，垂心 D外心，重心，内心 第34讲 要点探究 思路 第(1)小题的切入点是由 (2)，得(2)0，展开求得 12，再利用公式|a|aa 求模(2)由所给条件结合平面几何知识逐个判定 答案 (1)10(2)C 第34讲 要点探究 解析(1)由(2)，得 (2)0，即|22 0，12|212，|2|24|24|28210，即|2|10.第34讲 要点探究(2)由|OA|OB|OC|知，O 为ABC 的外心；由NANBNC0 知，N 为ABC 的重心；PA
12、PBPBPC，(PAPC)PB0，CAPB0，CAPB，BPAC，同理 APBC，P 为ABC 的垂心选 C.探究点4 平面向量积的综合问题第34讲 要点探究 例 4 2010全国卷 已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 P AP B的最小值为()A42 B32 C422 D322 答案 D 第34讲 要点探究 解析 方法一：如图所示，设 PAPBx(x0)，APO，则APB2，PO 1x2，sin 11x2.P AP B|P A|P B|cos2 x2(12sin2)x2x2x21x4x2x21 x22x22x21(x21)2x213 2x22x21
13、32 23，当且仅当 x212x21，即 x2 21 时，取“”号，故 P AP B的最小值为32 2，此时 x21.第34讲 要点探究 第34讲 要点探究 方法二：以点 O 为坐标原点，OP 为 x 轴建立直角坐标系，则圆 O 的方程为 x2y21，设 A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0,0)，则 P APB(x1x0，y1)(x1x0，y1)x212x1x0 x20y21.AOPA，即 O APA，(x1，y1)(x1x0，y1)0，即 x21x1x0y210 x1x01.P A PB x21 2 x20 (1 x21)2x21 x20 32 2x21x2032 23，故 P A
14、PB的最小值为32 2，此时 x21.第34讲 要点探究 第34讲 要点探究 方法三：设APB，0 ，则|P A|P B|1tan2.P APB|P A|P B|cos 1tan22cos cos22sin2212sin22（1sin22）（12sin22）sin22.令 xsin22，0 x1，则 P APB（1x）（12x）x2x1x32 23.第34讲 要点探究 2010 临 沂 一 模 已 知 向 量 a (cos23，cos67)，向量 b(cos68，cos22)(1)求 ab；(2)若向量 b 与向量 m 共线，uam，求 u 的模的最小值 解答(1)abcos23cos68co
15、s67cos22cos23sin22sin23cos22sin45 22.第34讲 要点探究(2)由向量 b 与向量 m 共线，得 m b(R)，uama b(cos23 cos68，cos67 cos22)(cos23 sin22，sin23 cos22)，|u|2 (cos23 sin22)2 (sin23 cos22)2 (cos223 2 cos23sin22 2sin222)(sin2232 sin23cos222cos222)2 2 1 22212，当 22 时，|u|有最小值 22.规律总结 第34讲 规律总结 1两个平面向量 a，b 的数量积 ab 是一个实数，而不是向量，它的值为这两个向量的模与其夹角 的余弦的乘积，即 ab|a|b|cos，其中计算数量积的关键是正确确定 ，的取值范围是0，2求向量的夹角时注意向量的方向，要把两向量平移使其起点重合，尤其在三角形中，如计算ABAC时向量的夹角为BAC，计算ABCA时向量的夹角为 BAC.3向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos，也可以记为ab|b|.第34讲 规律总结 4几个考查热点的向量形式与坐标形式的比较 已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量a，b的夹角
