1、2015-2016学年四川省宜宾三中高一（下）3月月考数学试卷一.选择题（每小题5分，共60分）1在下列各命题中，正确命题的是（）A|=|， =B若，则=C若=，则=D若，（0），则2在ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，b=3，c=2，cosB=，则a等于（）A3B5C5或3D5或3已知向量，|=|=1，与的夹角为60，=2+3， =k（kR），且，那么k=（）AB2CD4在ABC中，cos2=（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则ABC的形状为（）A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形5如图，一直线EF截平行四边形ABCD中的两边AB，AD于E，F，且交其对角线于K，
2、其中，则的值为（）ABCD6已知向量=（0，2），=（1，）是与同向的单位向量，则在方向上的投影为（）A3BCD37如图在ABC中，D是AC边上的点且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD则cosC的值（）ABCD8下列命题，正确命题个数为（）若tanAtanB1，则ABC一定是钝角三角形；若sin2A=sin2B，则ABC一定是等腰三角形；若cos（AB）cos（BC）cos（CA）=1，则ABC一定是等边三角形；在锐角三角形ABC中，一定有sinAcosBA1B2C3D49在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c且有20a+15b+12c=，则ABC的形状为（）A锐角三角形B钝角
3、三角形C直角三角形D等腰直角三角形10点O在ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）则点O依次为ABC的（）A内心、外心、重心、垂心B重心、外心、内心、垂心C重心、垂心、内心、外心D外心、内心、垂心、重心11ABC中，AB=6，AC=4，M为BC的中点，O为ABC的外心， =（）AB13C5D212在四边形ABCD中，A=60，B=60，C=105，BC=1，则AB的取值范围（）A（1，2）B（2，1）C（2，2+）D（1，2+）二、填空题（每小题5分，共20分）13已知向量、的夹角为60，且|=1，|=2，则|2+|=14如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他
4、们先在点A处测得树顶C的仰角为30，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60（A、B、D三点在同一直线上）请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度m15已知向量=34， =（1n）+3n，若，则n的值为16（理） 设ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是若abc2；则C若a+b2c；则C若a3+b3=c3；则C若（a+b）c2ab；则C三.解答题（17题10分，1822题每小题10分，共70分）17已知=（sinx，1），=（cosx，2）（1）若，求tan2x的值；（2）若f（x）=（），求f（x）的单调递增区间18如图，在ABC中，已知P
5、为线段AB上一点，且=x+y（1）若=，求x，y的值；（2）若=3，|=4，|=2，且与的夹角为60，求的值19已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinCbc=0（）求A；（）若a=2，bc=2，求b+c的值20已知在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且求角A的大小若21在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c且sinC+cosC=1sin求cosC； 若a2+b2=2（2a+b）11，求c边22已知关于x的方程（2p2+1）x25px2=0（pR）有两个实根（1）当p=1时，在ABC中，角A，B，C为三角形内角，tanA，tanB是方程的两个
6、根求角CAC=3，BC=，D在AB上，AD=DC，求CD的长（2）M（x1，px1+1），N（x2，px2+1），T（0，1）且x1，x2为方程的两个实根设O为坐标原点，是否存在常数，使得+为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由2015-2016学年四川省宜宾三中高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分）1在下列各命题中，正确命题的是（）A|=|， =B若，则=C若=，则=D若，（0），则【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据向量的有关概念以及平行的性质进行判断即可【解答】解：A|=|，则向量长度长度，但方向不确定，则=不成立，B若，则两个向量方向相
7、同或相反，但长度没有关系，则=不成立，C若=，则=不成立，D若，（0），则成立，故选：D2在ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，b=3，c=2，cosB=，则a等于（）A3B5C5或3D5或【考点】余弦定理【分析】利用余弦定理列出关系式，将b，c，cosB的值代入即可求出a的值【解答】解：在ABC中，b=3，c=2，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB即9=，解得a=5或3故选：C3已知向量，|=|=1，与的夹角为60，=2+3， =k（kR），且，那么k=（）AB2CD【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据两个向量的垂直关系写出两个向量的数量积等于0，根据多项式乘
8、法法则，整理出结果，得到关于k的方程，解方程即可【解答】解：|=|=1，与的夹角为60，=2+3， =k（kR），且，=（2+3）（k）=2k+（3k2）3=2k+（3k2）11cos603=k4=0，解得k=故选：A4在ABC中，cos2=（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则ABC的形状为（）A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，右边整理后，得出cosB=，利用余弦定理表示出cosB，代入等式化简得到b=c，即可判断三角形ABC形状【解答】解：已知等式变形得：cosB+1=+1，即cosB=，由余弦定
9、理得：cosB=，代入得： =，整理得：b2=c2，即有b=c则ABC为等腰三角形故选：C5如图，一直线EF截平行四边形ABCD中的两边AB，AD于E，F，且交其对角线于K，其中，则的值为（）ABCD【考点】向量在几何中的应用【分析】由已知结合向量加法的平行四边形法则可得=（）=，由E，F，K三点共线可得，3+2=1可求【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可知，=由E，F，K三点共线可得，3+2=1故选A6已知向量=（0，2），=（1，）是与同向的单位向量，则在方向上的投影为（）A3BCD3【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出的坐标，代入投影公式计算即可【解答】解：是与同向的单位向量，=
10、（，），在方向上的投影为|=3故选D7如图在ABC中，D是AC边上的点且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD则cosC的值（）ABCD【考点】余弦定理【分析】不妨设BD=2，则BC=4，AB=AD=3在ABD中，由余弦定理可得：cosA=，可得sinA=在ABC中，由正弦定理可得： =，即可得出【解答】解：不妨设BD=2，则BC=4，AB=AD=3在ABD中，由余弦定理可得：cosA=，B（0，），sinA=在ABC中，由正弦定理可得： =，可得：sinC=故选：D8下列命题，正确命题个数为（）若tanAtanB1，则ABC一定是钝角三角形；若sin2A=sin2B，则ABC一定是等腰三角形
11、；若cos（AB）cos（BC）cos（CA）=1，则ABC一定是等边三角形；在锐角三角形ABC中，一定有sinAcosBA1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】切化弦，利用合角公式可得cos（A+B）0，推出C为锐角判断；由已知得到2A=2B或2A+2B=，即A=B或A+B=判断；根据|cosx|1，不等式可转换为cos（AB）=cos（BC）=cos（CA）=1，进而得出结论判断；由三角形ABC为锐角三角形得到A+B90，得A90B，进一步得到sinAsin（90B）=cosB判断【解答】解：tanAtanB1，tanA0，tanB0，即A，B为锐角，由tanAtanB1，得s
12、inAsinBcosAcosB，即cos（A+B）0，A+B为钝角，故C为锐角，则ABC一定是锐角三角形，故错误；若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=，即A=B或A+B=，ABC是等腰三角形或直角三角形，故错误；若cos（AB）cos（BC）cos（CA）=1，|cosx|1，cos（AB）=cos（BC）=cos（CA）=1，A、B、C180，AB=BC=CA=0，则A=B=C=60，ABC是等边三角形，故正确；在锐角ABC中，有A+B90，A90B，sinAsin（90B）=cosB，故正确正确的命题有2个故选：B9在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c且有20
13、a+15b+12c=，则ABC的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】由条件求得（20a15b）+（12c20a）=根据、不共线，求得b=a，c=a，利用勾股定理即可判断三角形的形状【解答】解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则20a（）+15b+12c=（20a15b）+（12c20a）=、不共线，故有20a15b=0，12c20a=0b=a，c=a，可得：a2+b2=c2，即ABC的形状为直角三角形故选：C10点O在ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）则点O依次
14、为ABC的（）A内心、外心、重心、垂心B重心、外心、内心、垂心C重心、垂心、内心、外心D外心、内心、垂心、重心【考点】三角形五心【分析】根据三角形五心的定义，结合向量数量积的几何意义，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，判断出O点在ABC中的特殊位置，即可得到答案【解答】解：由三角形“五心”的定义，我们可得：（1）时，O为ABC的重心；（2）时，O为ABC的垂心；（3）时，O为ABC的内心；（4）时，O为ABC的外心；故选C11ABC中，AB=6，AC=4，M为BC的中点，O为ABC的外心， =（）AB13C5D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】过点O分别作OEAB于E，OFAC于F，可得
15、E、F分别是AB、AC的中点根据RtAOE中余弦的定义，分别求出， 的值，再由M是BC边的中点，得到=（+），问题得以解决【解答】解：过点O分别作OEAB于E，OFAC于F，则E、F分别是AB、AC的中点可得RtAEO中，cosOAE=，=|=|2=18，同理可得=|2=8，M是边BC的中点， =（+）=（+）=（+）=（18+8）=13，故选：B12在四边形ABCD中，A=60，B=60，C=105，BC=1，则AB的取值范围（）A（1，2）B（2，1）C（2，2+）D（1，2+）【考点】三角形中的几何计算【分析】考虑极端位置，利用正弦定理，即可得出结论【解答】解：如图所示，延长BA，CD交
16、于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在BCE中，B=60，C=105，E=15，BC=1，由正弦定理可得BE=2+平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在BCF中，B=60，BFC=60，BF=BC=1，所以AB的取值范围为（1，2+）故选：D二、填空题（每小题5分，共20分）13已知向量、的夹角为60，且|=1，|=2，则|2+|=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可【解答】解：向量、的夹角为60，且|=1，|=2，|2+|2=4+4|cos60+|2=4+4+4=12，|2+|=2，故答案为：214如图，某数学兴趣小组想测量一棵树
17、CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60（A、B、D三点在同一直线上）请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度5m【考点】解三角形的实际应用【分析】在两个直角三角形中用CD表示出AD，BD，列方程解出CD【解答】解：在RtACD中，A=30，AD=CD，在RtBCD中，CBD=60，BD=CD，又AB=ADBD，CDCD=10，解得CD=5故答案为：515已知向量=34， =（1n）+3n，若，则n的值为或nR【考点】平行向量与共线向量【分析】对与是否共线分类讨论，利用向量共线定理即可得出【解答】解：与共线时，nR与
18、不共线时，4（1n）9n=0，解得n=故答案为：或nR16（理） 设ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是若abc2；则C若a+b2c；则C若a3+b3=c3；则C若（a+b）c2ab；则C【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用余弦定理结合均值不等式利用余弦定理，再结合均值定理即可证明利用反证法，假设C时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确取特殊值，在满足条件的情况下，判断角C的大小【解答】解：因为a2+b22ab，所以由余弦定理得，因为abc2，所以c2ab，所以，即，所以正确a+b2c，所以，所以，即，所以正确假设，则c2a2+b2，所以c3ca2+cb2a3+b
19、3，与a3+b3=c3矛盾，所以假设不成立即C成立所以正确取a=b=2，c=1，满足（a+b）c2ab得C为锐角，所以错误所以命题正确的是故答案为：三.解答题（17题10分，1822题每小题10分，共70分）17已知=（sinx，1），=（cosx，2）（1）若，求tan2x的值；（2）若f（x）=（），求f（x）的单调递增区间【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】（1）利用向量共线定理、倍角公式即可得出；（2）利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=（）=，再利用正弦函数的单调性即可得出【解答】解：（1），；（2）f（x）=（）=2=，令所
20、以f（x）的单调递增区间是18如图，在ABC中，已知P为线段AB上一点，且=x+y（1）若=，求x，y的值；（2）若=3，|=4，|=2，且与的夹角为60，求的值【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义【分析】（1）由于P为线段AB上一点，且=x+y利用向量共线定理可得：x+y=1，由于=，可得P为线段AB的中点，因此x=y，即可解出（2）由=3，可得=，化为=由于|=4，|=2，且与的夹角为60，可得于是=，展开代入即可得出【解答】解：（1）P为线段AB上一点，且=x+yx+y=1，=，P为线段AB的中点，x=y=（2）=3，=，化为=|=4，|=2，且与的夹角为60，=42
21、cos60=4=019已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinCbc=0（）求A；（）若a=2，bc=2，求b+c的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A（2）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围【解答】解：（1）acosC+asinCbc=0，sinAcosC+sinAsinCsinBsinC=0，sinAcosC+sinAsinC=sinB
22、+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，sinC0，sinAcosA=1，sin（A30）=，A30=30，A=60；（2）由余弦定理得，a2=b2+c22bccosA，则4=b2+c2bc，（b+c）23bc=4，bc=2，b+c=20已知在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且求角A的大小若【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用【分析】把已知等式的左边去括号后，分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得出sin（2A）的值为1，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；利用
23、三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA及已知的面积代入求出bc的值，利用余弦定理得到a2=b2+c22bccosA，根据完全平方公式变形后，将cosA，a及bc的值代入，求出b+c的值，将bc=8与b+c=2联立组成方程组，求出方程组的解集即可得到b与c的值【解答】解：cosA（sinAcosA）=，sinAcosAcos2A=sin2A（1+cos2A）=sin2Acos2A=，即sin（2A）=1，又A为三角形的内角，2A=，解得：A=；a=2，SABC=2，sinA=，bcsinA=2，即bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc，即8=（b
24、+c）224，解得：b+c=4，联立，解得：b=c=221在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c且sinC+cosC=1sin求cosC； 若a2+b2=2（2a+b）11，求c边【考点】余弦定理的应用【分析】根据三角函数的倍角公式进行化简即可由a2+b2=2（2a+b）11利用配方法得a=2，b=，然后利用余弦定理进行求解即可【解答】解：sinC+cosC=1sin，2sincos+12sin2=1sin，即2sin（sincos）=sin，sin0，sincos=，平方得1sinC=，则sinC=，C，则cosC=若a2+b2=2（2a+b）11，即（a2）2+（b）2=0，则a2=
25、0且b=0，则a=2，b=，则c2=4+722（）=18，则c=322已知关于x的方程（2p2+1）x25px2=0（pR）有两个实根（1）当p=1时，在ABC中，角A，B，C为三角形内角，tanA，tanB是方程的两个根求角CAC=3，BC=，D在AB上，AD=DC，求CD的长（2）M（x1，px1+1），N（x2，px2+1），T（0，1）且x1，x2为方程的两个实根设O为坐标原点，是否存在常数，使得+为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）当p=1时，求出一元二次方程，根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行求解即可；（2）根据向量
26、数量积的定义分别求出和的表达式，建立方程进行求解判断即可【解答】解：（1）当p=1时，方程等价为3x25x2=0，tanA，tanB是方程的两个根，tanA+tanB=，tanAtanB=，则tanC=tan（A+B）=1，则C=（2）AB2=9+22=17，则AB=，由正弦定理得，得sinA=，cosA=，设CD=AD=t，则t2=9+t223t，得t=（2）=x1x2+p2x1x2+p（x1+x2）+1，=x1x2+p2x1x2，x1+x2=，x1x2=，+=（1+）（1+p2）x1x2+p（x1+x2）+1=（1+）（1+p2）（）+p+1=，则当=时， +=6为常数2016年10月30日
