1、湖北省宜昌一中、龙泉中学2020届高三数学下学期6月联考试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）.1.已知是实数，是纯虚数，则的虚部为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，且结合纯虚数定义求得，进而得的虚部.【详解】由复数的除法运算化简可得，由纯虚数的定义可知满足，解得，所以，的虚部为，故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的定义简单应用，属于基础题.2.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，B，再用交集的定义求解.【详解】，或，所以，故选：D.【点睛】本题主要考查
2、集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.【详解】由，得，此时，反之成立时，可以取，不能推出故选：A.【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，在数学上，斐波拉契数列an定义如下：a1a21，anan1+an2（n3，nN），随着n的增大，越来越逼近黄金分割0.6
3、18，故此数列也称黄金分割数列，而以an+1、an为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（ ）A. 20厘米B. 19厘米C. 18厘米D. 17厘米【答案】C【解析】【分析】因为由已知有0.618，又，得0.618200，进而解得.【详解】解：由已知有0.618，得：，由，得0.618200，即，由于172289，182324，所以an+118（厘米），故选：C.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.5.设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等差数
4、列an的首项为a1，公差为d，由得到首项与公差的关系，再把S3，S6用含有d的代数式表示，则答案可求.【详解】设等差数列an的首项为a1，公差为d，由，得3（2a1+d）4a1+6d，即.，.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式的性质应用，考查了运算求解的能力，属于中档题.6.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导分析导函数的单调性与零点可得原函数存在两个极值点,再代入求值判断即可.【详解】解法一：因为，设，令,得,当时,为减函数，即为减函数；当时,，为增函数，即为增函数,而,所以原函数存在两个极值点,故淘汰选项C和D.将代入原函数,求得,淘
5、汰选项A.解法二：,淘汰选项A,D；当时,淘汰选项C.故选：B.【点睛】本小题考查函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想,考查直观想象、数学运算等核心素养,属于中档题.7.已知函数，方程恰有三个根，记最大的根为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依题意，函数在处的切线为，且，利用导数的几何意义可得，再化简所求式子即可得解.【详解】如图，要使方程恰有三个根，且最大的根为，则函数在处的切线为，显然，当时，可得，.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究方程的根，解答的关键就是利用化简计算，考查计算能力，属于中等题.8.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分
6、类的习惯，让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有位同学，其余三个宣传小组各有位同学.现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派人的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由位同学组成四个宣传小
7、组，其中可回收物宣传小组有位同学，其余三个宣传小组各有位同学.现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，基本事件总数，每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为，则每个宣传小组至少选派人的概率为.故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.9.设抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|BF|，则（ ）A. B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】过A，B分别作准线的垂线，再过B作AA的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值.【详解】解
8、：设|BF|m，则由|AF|BF|可得|AF|m，由抛物线的方程可得：F（1，0），过A，B分别作准线的垂线交于A，B，过B作AA的垂线交AA，OF分别于C，D点，则BFDBAC，所以，即，解得：m，所以2，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.10.某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首项根据几何体的三视图换元得到几何体，进一步求出三棱锥的外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】根据几何体三视图可得：该几何体是底面为等腰直
9、角三角形，高为的三棱锥，如图所示：设该三棱锥的外接球的球心为，则外接球的半径为，则，即，解得，所以外接球的表面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的转换，以及几何体的外接球的半径的求法和表面积的计算，着重考查运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题.11.已知函数f（x）满足，当x0时，下列说法正确的是（ ）只有一个零点；有两个零点；有一个极小值点；有一个极大值点A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，则，所以，即，由，解得，所以，求导得，利用导数可求出函数的单调区间，进而得在处取得极大值，而这也是最大值，从而可对和作出判断；又，且当时，恒成立，所以只有一个零
10、点为，从而可对和作出判断.【详解】令，则，即，当时，单调递增；当时，单调递减，在处取得极大值，而这也是最大值，即错误，正确；又，且当时，恒成立，只有一个零点为，即正确，错误.正确的有，故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，属于难度题12.已知梯形ABCD满足ABCD，BAD45，以A，D为焦点的双曲线经过B，C两点.若CD7AB，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c之间的关系即可得到结论.【详解】如图：连接AC，BD，设双曲线的焦距AD2c，
11、实轴长为2a，则BDABACCD2a，设ABm，则CD7m，BD2a+m，AC2a+7m，BAD45，ADC135，在ABD中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2m2+4c22，在ACD中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）249m2+4c2+14，整理得：（c2a2）m（a+c），（c2a2）7m（ac），两式相结合得：a+c7（ac），故6a8c，双曲线的离心率为e.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图像是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在三角形ABC中，|5，8，则_.【答案】17.【解析】【分析
12、】直接利用向量的数量积转化求解即可.【详解】在三角形ABC中，因为|5，8，所以258，所以17.故答案为：17.【点睛】本题主要考查平面整理的数量积运算以及向量的加法运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 【答案】- 540【解析】【详解】若的展开式中各项系数之和为，解得，则展开式的常数项为，故答案为.15.在数列，中， ， ，设数列满足，则数列的前项和_.【答案】.【解析】【分析】首先根据递推公式求出和，代入中求出数列的通项公式，最后由等比数列求和公式即可求出数列的前项和.【详解】数列，中，所以+得：，整理得（常数），所以数列是以
13、为首项，4为公比的等比数列.所以.得：，所以（常数），故数列是以为首项，8为公比的等比数列，所以，由于数列满足，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了由递推公式求通项公式的应用，由递推公式证明数列为等比数列，等比数列前项和公式的应用，属于中档题.16.四面体PABC中，PA，PBPCABAC2，BC2，动点Q在ABC的内部（含边界），设PAQ，二面角PBCA的平面角的大小为，APQ和BCQ的面积分别为S1和S2，且满足，则S2的最大值为_.【答案】42.【解析】【分析】取BC的中点M，由题意可得AMPMPA，则PMA60，作QHBC于H，则sin，再由BC2PA2，可得AQQH，即Q为三角形AB
14、C内的一条抛物线，当Q在AB或AC上时，S2最大，求出S2的最大值.【详解】如图所示：取BC的中点M，连接AM，PM，因为PBPCABAC，AMBC，PMBC，且PA，PBPCABAC2，BC2，所以AMPMPA，所以PMA60，作QHBC于H，所以sin，所以而BC2PA2，所以AQQH，所以Q的轨迹是ABC内的一条抛物线，当Q在AB或AC上时，S2最大，不妨设在AB上，此时，即，解得AQQH2（1），所以S242.故答案为：42【点睛】本题主要考查二面角的求法以及面积比与相似比的应用，抛物线的定义，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于难题.三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写
15、出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知的内角的对边分别为，且.（1）求C；（2）如图，若点D在边AC上，,E为垂足，且，求BD的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将方程中的边化成角，再利用诱导公式，可求得的值，即可得答案；（2）在中，由正弦定理得，即，求出的值，即可得答案；【详解】（1），由正弦定理得， ，.（2），. .在中，由正弦定理得，即，整理得.【点睛】本题考查诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意边角关系的互相转化.18.如图，在矩形中，将沿对角线折起，使点到达点的位置，且平面平面.
16、（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由四边形是矩形，得，推导出平面，可得出，再由，可得出平面，由此能证明；（2）过作于点，则平面，以所在直线为轴，过作轴平行于，为轴，建立空间直角坐标系，由平面，得出直线与平面所成角为，设，可得，然后利用空间向量法能求出二面角的余弦值.【详解】（1）由四边形是矩形，得，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，则，又，平面，平面，；（2）过作，垂足为点，平面平面，平面平面，平面，平面，以点为坐标原点，以所在直线为轴，过作轴平行于，以所在直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由
17、（1）知平面，是直线与平面所成角，即，在中，设，则，平面，可取平面的一个法向量，由（1）知，在中，设平面的法向量，由，取，则，所以，平面的一个法向量为，.由图形可知，二面角的平面角为锐角，它的余弦值为.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用线面角的定义求长度，以及利用空间向量法求二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.已知圆O：x2+y23，直线PA与圆O相切于点A，直线PB垂直y轴于点B，且|PB|2|PA|.（1）求点P的轨迹E的方程；（2）过点（1，0）且与x轴不重合的直线与轨迹E相交于P，Q两点，在x轴上是否存在定点D，使得x轴是PDQ的角平分线，若存在，
18、求出D点坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在；定点D（4，0）【解析】【分析】（1）设P（x，y），根据直线PA与圆O相切于点A，利用切线长公式得到|PA|2x2+y23，|再根据直线PB垂直y轴于点B，得到|PB|2x2，然后由|PB|2|PA|求解.（2）设直线l的方程为：xmy+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，代入kPD+kQD0，化简整理得，解得x0即可.【详解】（1）设P（x，y），因为直线PA与圆O相切于点A，所以|PA|2|PO|23x2+y23，|又因为直线PB垂直y轴于点B，所以|PB|2x2，又因为|PB|2|PA|所以x2+y23x2，即x24（x2+
19、y23），化简得，点P的轨迹E的方程为：；（2）设直线l的方程为：xmy+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程，整理得：（4+3m2）y2+6my90，假设存在定点D（x0，0），使得x轴是PDQ的角平分线，则kPD+kQD0，即，解得：x04，所以存在定点D（4，0），使得x轴是PDQ的角平分线.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态.若机器处于故障状态，则停机检修.为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，
20、得出如图1所示频率分布直方图.由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为这1000个产品的质量指标值的平均数，近似为这1000个产品的质量指标值的方差（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.若产品的质量指标值全部在之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态.（1）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值：29 45 55 63 67 73 78 87 93 113请判断该机器是否出现故障？（2）若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；方案二：常规检修，检修公司会在七天
21、内的任意一天来排除故障，费用为200元.现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100单常规检修在第i（，2，7）天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将第i天常规检修单数的频率代替概率.已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？附：，.【答案】（1）可判断该机器处于故障状态；（2）选择加急检修更为适合【解析】【分析】（1）由图1可估计1000个产品的质量指标值的平均数和方差，所以，从而得到产品的质量指标值允许落在的范围为（28.87，111.13），由于抽取产品质量指标值出现了113，不在（28
22、.87，111.13）之内，故机器处于故障状态；（2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为700200900元；方案二：设损失收益为元，求出的可能值，然后由图2可得出每个的取值所对应的概率，求出数学期望，可得工厂需要支付检修费和损失收益之和，与900对比，即可得出结论.【详解】（1）由图1可估计1000个产品质量指标值的平均数和方差分别为，依题意知，所以，所以产品质量指标值允许落在的范围为，又抽取产品质量指标值出现了113，不在之内，故可判断该机器处于故障状态；（2）方案一：若安排加急检修，工厂需要支付检修费和损失收益之和为元；方案二：若安排常规检修，工厂需要要支付检修费为200元，设损
23、失收益为X元，则X的可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400，X的分布列为：X200400600800100012001400P0.070.180.250.200.150.120.03元；故需要支付检修费和损失收益之和为元，因为，所以当机器出现故障，选择加急检修更为适合.【点睛】本题考查频率分布直方图中的数字特征、离散型随机变量的分布列和数学期望，及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题.21.已知函数f（x）（x1）2alnx（a0）.（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1x2），且关于x的方程f（x）b（
24、bR）恰有三个实数根x3，x4，x5（x3x4x5），求证：2（x2x1）x5x3.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得f(x)，令f(x)0，即2x22xa0，4+8a，分两种情况0，0，讨论f(x)单调性；（2）由题意得a0，画出草图，知0x3x1x4x2x5，0x1x21，要证：2(x2x1)x5x3，即证：2(x2x1)(x5+x4)(x3+x4)，只需证：，先证：x3+x42x1.即证x42x1x3，由（1）f(x)单调递减，只需证f(x4)f(2x1x3)，即证：f(x3)f(2x1x3)，令g(x)f(x)f(2x1x)，0xx1，求导
25、数，分析单调性，可得g(x)g(x1)0，故f(x)f(2x1x)，在(0，x1)恒成立，f(x3)f(2x1x3)得证，同理可以证明：x3+x42x2，综上，2(x2x1)x5x3，得证.【详解】（1）由题意得2(x1)，令0，即2x22xa0，4+8a，当a时，0，0，函数f(x)在(0，+)上单调递增，当a0时，0，2x22xa0的两根为x1，x2且0x1x2，当x(0，)，(，+）时，0，f(x)单调递增，当x(，)时，0，f(x)单调递减，综上，当a时，函数f(x)在(0，+)上单调递增，当a0时，f（x）在(0，）上单调递增，在(，）上单调递减，在(，+)上单调递增.（2）证明：由
26、题意得a0，0x3x1x4x2x5，0x1x21，如图，要证：2(x2x1)x5x3，即证：2(x2x1)(x5+x4)(x3+x4)；只需证：先证：x3+x42x1.即证x42x1x3，又由（1）知f(x)在(x1，x2)上单调递减，只需证f(x4)f(2x1x3)，而f(x4)f(x3)，即证：f(x3)f(2x1x3)，令g(x)f(x)f(2x1x)，0xx1，+2x22(2x1x)2，4(x11)又2(x11)0，即x11，那么，而0xx1，且，则0，故g(x)在(0，x1)单调递增，则g(x)g(x1)0，故f(x)f(2x1x)，在(0，x1)恒成立，又0x3x1，则f(x3)f
27、(2x1x3)得证，同理可以证明：x3+x42x2，综上，2(x2x1)x5x3，得证.【点睛】本题主要考查了利用导数讨论函数的单调区间，利用导数研究函数的单调性、最值，证明不等式，考查了分类讨论的思想，转化思想，属于难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和C的直角坐标方程；（2）直线上的点为曲线内的点，且直线与曲线交于，且，求的值.【答案】（1），（2）m【解析】【分析】（1）把曲线的
28、极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程，直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程.（2）化直线的参数方程为标准形式，代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系结合参数的几何意义求解值.【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即，得.曲线的直角坐标方程为.直线的参数方程为（为参数），消去参数，可得直线的普通方程为；（2）设直线的标准参数方程为，代入椭圆方程，得.设对应的参数分别为，则.又点为曲线内的点，即.由，解得.【点睛】本题第一问考查了直线的参数方程和椭圆的极坐标方程，第二问考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.若对于实数，有，（）求的最大值；（）在（）的条件下，若正实数，满足，证明：【答案】（）3；（）证明见解析.【解析】分析】（），然后再由绝对值三角不等式求得最大值即可；（）由（）知，即，又，可得的最小值，进而可得出.【详解】（）因为，当或时等号成立，所以的最大值为3；（）由（）知，所以，所以所以【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及基本不等式在证明中的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题
