1、第 9 讲函数的图象1掌握基本初等函数的图象，能够利用函数的图象研究函数的性质2理解基本函数图象的平移、伸缩和对称变换，会求变换后的函数解析式1函数图象的作图方法 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法2三种图象变换 (1)平移变换：把 yf(x)的图象沿 y 轴方向平移|b|个单位长度后可得到yf(x)b(b0)的图象，当 b0 时，向上平移；当 b0 时，向左平移；当 a1 时)或缩短(当 0A0，A1)的图象把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长(当 0w1 时)到原来的_倍，纵坐标不变，就得到 yf(wx)(w0，w1)的图象1w(3)对称变换：yf(x)yf
2、(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(|x|)；yf(x)y|f(x)|.关于y轴对称关于x轴对称关于原点对称关于原点对称去左翻右去下翻上1(2015年福建模拟)函数 y1的图象关于直线 yx对称的图象大致是()AABCD12x2设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则函)B数 yf(x)的图象可能是(ACBD)C3函数 ylg|x|的图象大致是(ACBD4方程|x|cosx 在(，)内()CA没有根C有且仅有两个根B有且仅有一个根D有无穷多个根解析：构造两个函数 y|x|和 ycosx，在同一个坐标系内 画出它们的图象，如图 D4，
3、观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根图D4考点 1 函数图象的辨析例 1：(2013 年福建)函数 f(x)ln(x21)的图象大致是()ABCD解析：f(x)ln(x21)为偶函数，f(0)0.故选 A.答案：A【规律方法】函数图象主要涉及三方面的问题，即作图、识图、用图.作图主要应用描点法、图象变换法以及结合函数的性质等方法；识图要能从图象的分布范围、变化趋势、对称性等方面，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性及周期性等性质；用图是函数图象的最高境界，利用函数图象的直观性可以方便、快捷、准确地解决有关问题，如求值域、单调区间、求参数范围、判断非常规方程解的个数等，这也是数
4、形结合思想的重要性在中学数学中的重要体现.【互动探究】1若 loga20，且 a1)，则函数 f(x)loga(x1)的图象大致是()BACBD考点 2 函数图象的变换例 2：(1)(2014 年山东)已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，)其中 a0，a1)的图象如图 2-9-1，则下列结论成立的是(图 2-9-1Aa1，c1C0a1Ba1,0c1D0a1,0c1解析：由图知，yloga(xc)的图象是由 ylogax 的图象向 左平移c 个单位而得到的，其中0c1，再根据单调性易知0a0，x221m.图 2-9-2当 1m0 时，有唯一解 x02，此时 m1；当 11m4 时，有唯
5、一解，此时3m0.所以当 m1 或30的零点个数是_个2 解析：令x220，得x 2.x0，x2.令2x6lnx0，得62xlnx.在同一直角坐标系内，画出y62x，ylnx的图象，如图D5，观察知，交点有1个原函数零点的个数为2个图D5思想与方法用数形结合与分类讨论的思想讨论方程根的分布 例题：(2014年广东广州水平测试)已知aR，函数f(x)x|xa|.(1)当a2时，求函数yf(x)的单调递增区间；(2)求函数g(x)f(x)1的零点个数解：(1)当 a2 时，f(x)x|x2|x22x，x2，x22x，x2，即 f(x)x121，x2，x121，x2.根据图象知，函数 yf(x)的单
6、调递增区间为(，1和2，)(2)方法一：函数 g(x)f(x)1 的零点个数问题等价于函数yf(x)与 y1 的交点的个数f(x)x|xa|x2ax，xa，x2ax，xa，即 f(x)xa22a24，xa，xa22a24，xa.图2-9-3图2-9-4当 a0 时，函数 yf(x)在(，a)上是增函数，在a，a2上是减函数，在a2，上是增函数，且 f(a)0，如图 2-9-3,函数 yf(x)与 y1 有 1 个交点，此时函数 g(x)有 1 个零点；当 a0 时，函数 yf(x)在(，)上是增函数，且f(1)1，如图 2-9-4，函数 yf(x)与 y1 有 1 个交点，此时函数 g(x)有
7、 1 个零点；当 0a2 时，函数 yf(x)在，a2 上是增函数，在a2，a 上是减函数，在(a，)上是增函数，且 fa2 a24 2 时，函数 yf(x)在，a2 上是增函数，在a2，a 上是减函数，在(a，)上是增函数，且 fa2 a24 1，如图 2-9-7，函数 yf(x)与 y1 有 3 个交点，此时函数 g(x)有 3个零点综上所述，当 a2 时，函数 g(x)f(x)1 的零点个数为 3.方法二：函数 g(x)f(x)1 的零点个数问题等价于函数 yf(x)1 与 x 轴的交点的个数g(x)f(x)1x|xa|1x2ax1，xa，x2ax1，xa，即 g(x)xa22a24 1
8、，xa，xa22a24 1，xa 时，上是增函数，如图 2-9-8，此时函数 g(x)与 x 轴有 1 个交点；图 2-9-8图 2-9-9当 a0 时，g(a)1,ga2 a24 10 时，g(a)1，g(x)在(a，)上是增函数，此时函数 g(x)与 x 轴有 1 个交点图 2-9-10)当 xa 时，当 a0 时，函数 yg(x)在(，a)上是增函数，g(a)10，如图 2-9-11，此时函数 g(x)与 x 轴有 0 个交点；图 2-9-11图 2-9-12当 a0 时，函数 yg(x)在(，0)上是增函数，且 g(0)10，如图 2-9-12，此时函数 g(x)与 x 轴有 0 个交
9、点；图 2-9-13图 2-9-14当 0a2 时，函数 yg(x)在，a2 上是增函数，在a2，a 上是减函数，且 ga2 a24 12时，函数yg(x)在，a2 上是增函数，在a2，a上是减函数，且 ga2 a24 10，g(a)10，如图 2-9-15，此时函数 g(x)与 x 轴有 2 个交点综上所述知，当 a2 时，函数 g(x)f(x)1 的零点个数为 3.图 2-9-15图 2-9-16方法三：函数 g(x)f(x)1 的零点个数等价于函数 y|xa|与 y1x的交点的个数当 a0 时，考查方程xa1x，x2ax10，当 a240，a2，此时直线 yxa 与 y1x相切，如图 2-9-16，函数 y|xa|与 y1x有 2 个交点；图 2-9-17图 2-9-18当 a2 时，如图 2-9-18，函数 y|xa|与 y1x有 3 个交点综上所述，当 a2 时，函数 g(x)f(x)1 的零点个数为 3.
